パラドックス

パラドックス (paradox) とは、

一見すると筋が通っているように思えるにもかかわらず、明らかに矛盾していたり、誤った結論を導いたりするような、言説や思考実験などのこと。
数学において、公理系に生じた矛盾点のこと。
一般的な直感と反した、数学的に正しい解答や定理のこと。
ある目標を追おうとすればするほどかえって目標から遠ざかったり、ある主義を貫こうとするがゆえにかえってその主義に反することをしなければならなかったりする状況。

逆説、逆理、背理と訳される。ギリシャ語で "para" は「反」「逆」を、"dox" は「意見」という意味を表す。有名なものに、自己言及のパラドックス、リシャールのパラドックス、ベリーのパラドックスがある。

本質的に、パラドックスは、「生か死か」「在るか無いか」のような二極が対立する論理において生じる。

矛盾とパラドックス

混同されがちだが、矛盾とパラドックスとは本質的に異なる概念である。前者は本来は仮定（公理）や定義がはっきりした状況で用いる言葉であるのに対し、後者は仮定がはっきりしないからこそ起こる矛盾を指す。

例えば有名な「嘘つきパラドックス」は、「嘘」とは何か「嘘つき」とは何かがはっきりしないからこそ「パラドックス」なのである。これらがはっきり定義された状況では「嘘つきパラドックス」は「パラドックス」ではなく単なる「矛盾」に化ける。

「嘘つきパラドックス」は例えば「ゲーデルの不完全性定理」や「チューリングマシンの停止問題」の証明中で背理法の一部として用いられるが、これらの証明中での「嘘つきパラドックス」は状況がはっきりしているので「パラドックス」ではなく単なる「矛盾」である。

ゲーデルの不完全性定理の証明中に「嘘つきパラドックス」を使っているがゆえにゲーデルの不完全性定理は間違っていると主張する向きもあるが、これは以上の理由により、全くの嘘である。前述のように、ゲーデルの不完全性定理の証明中で使っているのは「パラドックス」ではなく「矛盾」である。

（数学に関わる）既存のパラドックスは全て、仮定をはっきりさせないいい加減な論理が原因になっているのであって、仮定をはっきりさせさえすればパラドックスは解消される。19世紀までの数学は、今に比べればだいぶいい加減なものだったので、様々なパラドックスを内包していた。しかし20世紀以降、数学者の努力により、数学はより厳密なものへと変化し、これら全てのパラドックスは解消された。

見かけ上のパラドックス

真の意味でのパラドックスは、上述のように仮定や定義のいい加減さが原因で起こる現象を指すが、これとは別に「論理的には正しいが直観にあわない定理」の事も「パラドックス」という事がある。この意味でのパラドックスは、真の意味でのパラドックスと区別する為、「見かけ上のパラドックス」と呼ばれる事がある。

例えば「誕生日のパラドックス」は見かけ上のパラドックスとして知られる。これは「23人のクラスの中に誕生日が同じである２人がいる確率は50％以上」というもので、数学的には正しい事実だが、多くの人は50％よりもずっと低い確率を想像する。

他にも「ヘンペルのカラス」、「バナッハ・タルスキの逆理」などが見かけ上のパラドックスとして知られる(が、これら２つは、数学の公理の妥当性に疑問を投げかける、重大なパラドックスである)。

数学以外のパラドックス

数学以外の分野では、「パラドックス」という言葉はよりラフに用いられ、「ジレンマ」、「矛盾」、「意図に反した結果」、「理論と現実のギャップ」等、文脈により様々な意味に用いられる。