アレフ (数学)

ナニモノかがアンサイクロペディアに「アレフ (数学)」の項目を執筆しましたが、要出典厨・削除厨・要八百科厨の暗躍により削除されてしまいました。

<math>\aleph</math> （アレフ）とは、実数全体の集合の濃度を表す記号である。言い換えると、無限に大きさの違いを与えて順番をつけるためのものである。

某宗教団体とは微塵も関係ない。

概要[編集]

上の説明をすんなり飲み込める人はそもそも理解している人なので、この記事を見る必要はない。かといってwikipediaを見るのかというと、アンサイクロペディアより役に立たない^要出典ので、ネットを見ても全く理解できない。

有理数と実数を比べると、実数 = 有理数 + 無理数なので、明らかに実数の方が大きい。だから、どちらも同じ、「無限」で表すのはおかしい。

でも、数学的に説明をつけないといけない。そのためのものが濃度というものである。

え？なんで濃度っていう名前なのかって？えー、その、はい、密度が濃いとか、そういうこと、なんじゃ、ない、かな〜、g、ゴホン。

前提[編集]

ここでは準備として、実数と集合と写像を説明しないといけない。

実数[編集]

	ウィキペディア日本語版に、実数の記事があります。

実数（じっすう、英：real number）とは・・・明確な定義があるが、説明しても~~お前らには~~理解できないだろう。

適当に考えてもらえればいい。多分それであってるから。

え？なになに、詳しく教えろと？あ、えっと、そう、説明してると長くなるので、ここでは省略します。

集合[編集]

	ウィキペディア日本語版に、集合の記事があります。

集合の項も参照。

集合（しゅうごう、英：set）とは、何かの集まり、(一個だけでもOK)、または何もないものである。

何もないものは空集合と呼ばれ、<math>\epsilon</math> (イプシロン)で表す。何も集まってないのに集合？と文句を言ってはならない。

なぜなら、公理で無条件にこれを真と~~盲信している~~認めているからである。なお、これに反対する人は直ちに申し出て理由を述べること。

要素[編集]

要素とは、集まっているもののことを指す。

え？なんで要素って言うかって？あ、そういえば元っていう言い方もあったな、なんて・・・。

特別な集合[編集]

また、自然数全体、整数全体、有理数全体、実数全体の集合をよく使うのだが、その度に日本語で自然数全体の集合などと書くのは面倒臭いので、これらに記号が用意されている。

<math>\mathbb{N}</math> ：自然数（英：natural number）全体

<math>\mathbb{Z}</math> ：整数（英：integer, 独：zahlen）全体

<math>\mathbb{Q}</math> ：有理数（英：quotient number）全体

<math>\mathbb{R}</math> ：実数（英：real number）全体

え？なんで整数だけドイツ語かって？それ、は集合論の開祖、カントール先生がドイツ人だからである。

写像[編集]

	ウィキペディア日本語版に、写像の記事があります。

写像（しゃぞう、英：map）とは、集合Aの要素を入れると要素Bの要素が0個、1個、または複数個帰ってくる仕様の鏡。

ちなみに、恒等写像という、入れたものをそのまま返してくる本物の鏡もある。

全単射[編集]

写像において、集合Aの要素と、集合Bの要素が一対一に対応し、過不足ないとき、これを全単射という。

このとき、常識的に考えて、二つの集合の要素の数は、等しい。

え？なんでかって？えっと、その・・・すぐに人に聞かずに自分で考えなさい。

濃度[編集]

ウィキペディアにも、この項目「濃度」が執筆されています。ぜひこちらも読んでみてください。

濃度とは、無限集合の要素の個数のことを指す。もちろんそれは∞であるのだが、冒頭でも述べたように、無限には大きさの違いがあるので、

濃度で表す。別に集合の味が濃いとか色が濃いとかいう事ではない。

直観的には、自然数全体の集合と偶数だけを集めた集合 {1,2,3,4...}, {2,4,6,8...} は、前者の方が大きい。

だけれども、<math>f(x) = 2x</math> という全単射が作れるので、前に述べたように、同じ大きさであると考える。

なお、これに反対する人は直ちに申し出て理由を述べること。

アレフ[編集]

ここでようやく本題である。

アレフとは、無限を表す記号である。<math>\aleph_{n}</math> のnは、無限の中で何番目に大きいかを表すためのものである。

念のためもう一度言っておくが、某宗教団体より命名が200年ほど早いので、全く関係はない。

<math>\aleph_0</math> は自然数全体の集合の濃度のことで、最小である。え、何でって？私はそれに関して真に驚くべき証明を発見したが、ここで説明するには時間、スペース共に短すぎる。

<math>\aleph_{1}</math> は、実数全体の集合の濃度である。自然数全体の集合より大きい。何でって？だから自分で調べろっつってんだろぉ〜!!!

この二つの無限の間にちょうどはまるような濃度の無限はあるのか、という問題が、連続体仮説である。ちなみに、この問題は、証明も反証も出来ないことがわかっている。つまり、やっても無駄ってことだ。カントール先生はこの問題を10年考えた挙句、精神がおかしくなってしまった。怖い仮説である。

最後に[編集]

この記事を読んで、「えっ、なんでそうなるの？」と思った場面があったと思う。その時はすぐに口に出して質問せず、自分で考えて、調べなさい。

自分で考えることが、あなたたちには決定的にかけています。これからはそういうところに気をつけよう。

また、アレフと某宗教団体とを、一緒にして笑っている人もいた。これは笑い事ではありません。次にやったら、成績を大幅ダウンするから、覚悟しておくように。

あと、私が知ったかぶっているのではないかという声も見受けられました。非常に失礼な行為なので、これからはやめなさい。