黄金比 - 変更履歴

2024年9月22日 (日) 04:35に獅子堂重工による

2024-09-22T04:35:01Z

獅子堂重工: /* 注釈 */

2024-09-22T03:02:43Z

‎注釈

獅子堂重工: /* 外部リンク */

2024-09-22T03:01:25Z

‎外部リンク

北京原人: /* 外部リンク */

2022-11-26T10:17:41Z

‎外部リンク

北京原人: /* 歴史 */

2022-11-26T10:15:02Z

‎歴史

北京原人: /* 幾何学的性質 */

2022-11-26T10:14:02Z

‎幾何学的性質

北京原人: /* 幾何学的性質 */

2022-11-26T10:12:48Z

‎幾何学的性質

北京原人: /* 既約多項式 */

2022-11-26T10:01:02Z

‎既約多項式

北京原人: /* 性質 */

2022-11-26T09:56:21Z

‎性質

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2022年11月26日 (土) 09:54に北京原人による

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 * [http://mathworld.wolfram.com/topics/GoldenRatio.html Golden Ratio -- From MathWorld（黄金比の関連項目）]（英語）
-==注釈==
+==注釈・脚注==
-<references group="注釈"/>
-−
-==脚注==
 {{Reflist}}

@@ 179行目: / 179行目: @@
 ==注釈==
 <references group="注釈"/>
 {{Link FA|de}}

@@ 176行目: / 176行目: @@
 * [http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html Golden Ratio -- From MathWorld（黄金比）]（英語）
 * [http://mathworld.wolfram.com/topics/GoldenRatio.html Golden Ratio -- From MathWorld（黄金比の関連項目）]（英語）
 {{Link FA|de}}

@@ 178行目: / 178行目: @@
 {{Link FA|de}}
+{{デフォルトソート:おうこんひ}}
-[[Category:数学定数|おうこんひ]]
+[[Category:数学定数]]
-[[Category:美|おうこんひ]]
+[[Category:美]]
-[[Category:美術の技法|おうこんひ]]
+[[Category:美術の技法]]
-[[Category:数学に関する記事|おうこんひ]]
+[[Category:数学に関する記事]]
-[[Category:代数的数|おうこんひ]]
+[[Category:代数的数]]
-[[Category:比|おうこんひ]]
+[[Category:比]]
-−
-−
-[[en:Golden ratio]]
-[[wiki:黄金比]]

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 *『[[ユークリッド原論]]』では第6巻の定義3で'''外中比'''の定義が記されている。
 *『ユークリッド原論』の第6巻の命題30で「与えられた線分を外中比に分ける作図法」が記されている。
 ==黄金比の近似値==

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 </gallery>
-[[画像:黄金比.svg|400px|右]]
+== 作図 ==
 最も簡単な作図方法は下記の通り。
 # 正方形 abcd を描く。
@@ 106行目: / 107行目: @@
 正[[五角形]]や[[五芒星]]（星形：☆）（何れも作図可能）から容易に作図することができる。正五角形の一辺と[[対角線]]の比、五芒星の辺と隣接2頂点の距離の比は、黄金比に等しい。
 ==歴史==

@@ 27行目: / 27行目: @@
 *<math>\varphi^{-1} = \varphi -1 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2} = 0.6180339887 \cdots</math>
 <gallery widths="250px">
-TomoyukiMogi GoldenRatio.gif|[[黄金長方形]]では、(長辺 - 短辺) : 短辺 = 短辺 : 長辺 が成り立つことを表した図。
+B4C24F7A-4FBA-43E9-91C7-B876ABF7A0B3.gif|[[黄金長方形]]では、(長辺 - 短辺) : 短辺 = 短辺 : 長辺 が成り立つことを表した図。
 TomoyukiMogi GoldenRatio DiagonalLine.gif|[[黄金長方形]]から最大正方形を切り取っていった図（残った長方形も黄金長方形になる）。
 TomoyukiMogi GoldenRatio SameAreas.gif|黄金数 {{mvar|φ}} について、{{math2|''φ''(''φ'' &minus; 1) {{=}} 1}} を、面積で表した図。青線が、縦横の長さ {{math2|1, ''φ''}} の[[黄金長方形]]2個を表し、右上の赤網目部分が {{math2|''φ''(''φ'' &minus; 1)}}、左下の赤網目部分が {{math|1}} を表す。

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-'''黄金比'''（おうごんひ、En:'''Golden ratio''', The Golden Mean/Rectangle）（＝[[PHI]]）は、最も美しいとされる[[比]]'''<math>\mathbf{1}:{{\mathbf{1}+\mathbf{\sqrt5}}\over\mathbf{2}}</math>'''。近似値は'''1:1.618'''、約5:8。[[線分]]を ''a'', ''b''の長さで 2 つに分割するときに、''a'' : ''b'' = ''b'' : (''a'' + ''b'') が成り立つように分割したときの比 ''a'' : ''b'' のことである。
+[[画像:FakeRealLogSpiral.png|250px|thumb|[[黄金長方形]]（縦横の長さの比が黄金比( 1: 1.618…)である長方形）から最大[[正方形]]を切り落とすと、元の長方形と[[図形の相似|相似]]になる。赤線は黄金螺旋、緑線は正方形内の四分円を接続したものである。黄色は重なっている部分を表す。]]
-[[画像:GoldenRatio 1.jpg|thumb|230px|横と縦の長さの比の値が黄金比の近似値1.618であるような長方形]]
+この値は、次の[[二次方程式]]の解である：
-黄金比の値は、[[二次方程式]] ''x''<sup>2</sup> = ''x'' + 1 の正の[[方程式|解]]である。しばしば[[ギリシア文字]]の[[φ]]（ファイ）で表されるが、[[τ]]（タウ) を用いる場合もある。
+幾何的には、{{math|''a'' : ''b''}} が黄金比ならば、
-:<math>
+:{{math|''a'' : ''b'' {{=}} ''b'' : (''a'' + ''b'')}}
-  \phi^2 = \phi + 1, \quad
+という等式が成り立つことから、縦横比が黄金比の[[長方形|矩形]]から最大[[正方形]]を切り落とした残りの矩形は、やはり黄金比の矩形となり、もとの矩形の[[図形の相似|相似]]になるという性質がある。[[正五角形]]の1辺と対角線との比は黄金比に等しい。数列 {{math2|''a'', ''b'', ''a'' + ''b''}} は、[[等比数列]]<!--かつ[[フィボナッチ数]]列-->をなす。そのため、（中項 {{mvar|b}} と末項 {{math|''a'' + ''b''}} の比という意味で）'''中末比'''（ちゅうまつひ）とも呼ばれる。
-</math>
-黄金比は'''中末比'''（ちゅうまつひ、'''Extreme and mean ratio'''）や'''外中比'''（がいちゅうひ）とも呼ばれる。''a'' : ''b'' = ''b'' : (''a'' + ''b'') が成り立つとき、 ''a'' を'''[[末項]]'''（まっこう、'''Extreme'''）、 ''b'' を'''[[中項]]'''（ちゅうこう、'''Mean'''）という。
+線分を2つに分け、短い部分と長い部分の長さの比が、長い部分と全体の長さの比に等しくなるようにしたときの比であるため、'''外中比'''（がいちゅうひ、{{lang-en-short|extreme and mean ratio}}）とも呼ばれる。黄金比で長さなどを分けることを'''黄金比分割'''または'''黄金分割'''（{{lang-en-short|golden section}} または {{lang-en-short|golden cut}}）という。
 ==性質==
-{{右|[[Image:FakeRealLogSpiral.png|thumb|none|[[黄金四角形]]（辺の長さの比が黄金比になる四角形）の黄金分割： 黄金四角形から短辺を一辺とする正方形を取り除いて、残る部分はまた黄金四角形となる。そうして、この長方形は無限個の正方形で埋め尽くされていく。]]
+{{右|
 [[Image:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|thumb|none|黄金分割された[[黄金四角形]]の辺上で正方形のかどとなる点を滑らかにつないでいくと[[螺旋]]が現れる。黄金四角形に内接する[[螺旋]]は自然界では[[オウムガイ]]の殻の形状としても見られる、という説があるが、これは俗説である。黄金矩形に沿う[[螺旋]]もオウムガイの殻に見られる螺旋もともに[[対数螺旋]]であるが、螺旋の[[定数]]は異なる。]]
 [[Image:ParthenonGoldenRatio.png|thumb|none|[[パルテノン神殿]]の前面図：各部が黄金比をもとに構成されているのがわかる]]