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斜体 (数学) - 変更履歴
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小内山晶: /* 注記 */
2010-08-19T14:18:44Z
<p><span dir="auto"><span class="autocomment">注記</span></span></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
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<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">←前の版</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">2010年8月19日 (木) 14:18時点における版</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L35" >35行目:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">35行目:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>== 注記 ==</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>== 注記 ==</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><div style="font-size:smaller; line-height:141%"><references /></div></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><div style="font-size:smaller; line-height:141%"><references /></div></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">{{jawp}}</ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[en:Division ring]]</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[en:Division ring]]</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;"><div style="margin:0.5em 0;background-color:#f6f6f6;border:1px solid #ccc;padding:3px;font-size:80%"></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">このページは [http://ja.wikipedia.org/ Wikipedia日本語版]由来のコンテンツを利用しています。もとの記事は[http://ja.wikipedia.org/wiki/斜体 (数学) '''斜体 (数学)''']にあります。執筆者のリストは[http://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=斜体 (数学)&amp;action=history '''履歴''']をご覧ください。 </del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">[[Yourpedia]]と同じく、[http://ja.wikipedia.org/wiki/Wikipedia Wikipedia]は[http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html GFDLのライセンス]で提供されています。</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">コンテンツを再利用する際には同じくGFDLのライセンスを採用してください。</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></div></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">[[Category:Wikipedia出典元の記事|{{PAGENAME}}]]</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
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小内山晶
http://ja.yourpedia.org/mediawiki/index.php?title=%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&diff=4274&oldid=prev
2007年5月17日 (木) 13:42にキリカによる
2007-05-17T13:42:37Z
<p></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
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<tr style='vertical-align: top;'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">←前の版</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">2007年5月17日 (木) 13:42時点における版</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L36" >36行目:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">36行目:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><div style="font-size:smaller; line-height:141%"><references /></div></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><div style="font-size:smaller; line-height:141%"><references /></div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">[[cs:Těleso (algebra)]]</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">[[de:Schiefkörper]]</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[en:Division ring]]</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[en:Division ring]]</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[<del class="diffchange diffchange-inline">[es</del>:<del class="diffchange diffchange-inline">Anillo de división]</del>]</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[<del class="diffchange diffchange-inline">[fr</del>:<del class="diffchange diffchange-inline">Corps </del>(<del class="diffchange diffchange-inline">mathématiques</del>)]<del class="diffchange diffchange-inline">]</del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline"><div style="margin:0.5em 0;background-color:#f6f6f6;border:1px solid #ccc;padding:3px;font-size:80%"></ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[<del class="diffchange diffchange-inline">[it</del>:<del class="diffchange diffchange-inline">Corpo </del>(<del class="diffchange diffchange-inline">matematica</del>)]<del class="diffchange diffchange-inline">]</del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">このページは </ins>[<ins class="diffchange diffchange-inline">http</ins>:<ins class="diffchange diffchange-inline">//ja.wikipedia.org/ Wikipedia日本語版</ins>]<ins class="diffchange diffchange-inline">由来のコンテンツを利用しています。もとの記事は</ins>[<ins class="diffchange diffchange-inline">http</ins>:<ins class="diffchange diffchange-inline">//ja.wikipedia.org/wiki/斜体 </ins>(<ins class="diffchange diffchange-inline">数学</ins>) <ins class="diffchange diffchange-inline">'''斜体 (数学)'''</ins>]<ins class="diffchange diffchange-inline">にあります。執筆者のリストは</ins>[<ins class="diffchange diffchange-inline">http</ins>:<ins class="diffchange diffchange-inline">//ja.wikipedia.org/w/index.php?title=斜体 </ins>(<ins class="diffchange diffchange-inline">数学</ins>)<ins class="diffchange diffchange-inline">&amp;action=history '''履歴'''</ins>]<ins class="diffchange diffchange-inline">をご覧ください。 </ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[<del class="diffchange diffchange-inline">nl</del>:<del class="diffchange diffchange-inline">Delingsring (Ned) </del>/ <del class="diffchange diffchange-inline">lichaam (Be)</del>]<del class="diffchange diffchange-inline">]</del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[<ins class="diffchange diffchange-inline">Yourpedia]]と同じく、[http</ins>:/<ins class="diffchange diffchange-inline">/ja.wikipedia.org/wiki/Wikipedia Wikipedia</ins>]<ins class="diffchange diffchange-inline">は</ins>[<ins class="diffchange diffchange-inline">http</ins>:<ins class="diffchange diffchange-inline">//www.gnu.org/copyleft/fdl.html GFDLのライセンス</ins>]<ins class="diffchange diffchange-inline">で提供されています。</ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">[</del>[<del class="diffchange diffchange-inline">ru</del>:<del class="diffchange diffchange-inline">Тело (алгебра)]</del>]</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">コンテンツを再利用する際には同じくGFDLのライセンスを採用してください。</ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[<del class="diffchange diffchange-inline">zh</del>:<del class="diffchange diffchange-inline">除环</del>]]</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline"></div></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[<ins class="diffchange diffchange-inline">Category</ins>:<ins class="diffchange diffchange-inline">Wikipedia出典元の記事|{{PAGENAME}}</ins>]]</div></td></tr>
<!-- diff cache key yourpedia:diff:version:1.11a:oldid:4273:newid:4274 -->
</table>
キリカ
http://ja.yourpedia.org/mediawiki/index.php?title=%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&diff=4273&oldid=prev
キリカ: http://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=斜体 (数学)&oldid=9725538
2007-05-17T13:42:15Z
<p>http://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=斜体 (数学)&oldid=9725538</p>
<p><b>新規ページ</b></p><div>'''斜体'''（しゃたい、<em lang="en">skew field</em>; 歪体, <span lang="de"><em>Schiefkörper</em></span>, <span lang="fr"><em>corps</em></span>）あるいは'''非可換体'''（ひかかんたい、<span lang="en">non-commutative field</span>）は加減乗除が可能な代数系（[[体 (数学)|体]]）で非可換な積をもつ<ref>分類として扱う場合には可換なものを含むことも多い。[[体 (数学)|体]]の項も参照。</ref>ようなもののことである。[[除法]]の可能な[[環 (数学)|環]]であるという意味で'''可除環'''（かじょかん、<span lang="en">division ring</span>, <span lang="de">Divisionsring</span>）ともいう。[[係数|係数環]]を持ち、[[多元環]]の構造を持つことを強調する場合は、特に'''多元体'''（たげんたい、<em lang="en">division algebra</em>; '''可除多元環'''）と呼称することも多い<ref>いかなる斜体も、その中心を係数体として多元環と見ることができるので、この区別は文脈上で立場を明確にする必要のある場合を除いてはさほど重要ではない</ref>。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
具体的な定義については[[体 (数学)|体]]あるいは[[環 (数学)|環]]の各項目を参照せよ（殊に環論の用語は頻繁に用いられる）。斜体の定義はおのおのに<br />
* 非可換性: 乗法に関して、ある ''x'', ''y'' について ''xy'' &ne; ''yx'' なることが起こりうる。<br />
あるいは<br />
* 可除性: ''x'' が[[零元]]でないならば、その乗法[[逆元]] ''x''<sup>&minus;1</sup> が必ずある。<br />
という条件を課したものである<ref>体の定義に乗法の可換性を課す立場ならば可換性条件は破棄する。また、非可換性条件を課すのではなく、可換性を特に問題にしないという意味で非可換と考える場合もある。</ref>。逆元が定まる必要性から、（可除な環と考えるときは）環としては単位的環であることを暗黙に要請する。<br />
<br />
斜体の概念は、いくつかの立場から捉えられ用いられるため、それぞれの属する文脈でとくに積の[[結合法則|結合性]]を要求するか否かなどについて差異が認められる。たとえば非可換な体、あるいは可除な単位的（結合）環を相手にする文脈では結合的なものに限ることが多く、非結合的（分配的）多元環で可除なものとする立場からは非結合的（分配的）斜体が範疇に含まれうる。とくに非結合的斜体を認める立場からは[[アーサー・ケイリー]]の[[八元数]]の全体が成す非結合的分配環も斜体として扱うことができるため、八元数体という呼称が用いられることがある。<br />
<br />
== 性質・諸概念 ==<br />
逆元の存在から、斜体 ''D'' の零でない任意の（左・右・両側）[[イデアル]] ''I'' は ''D'' の単位元 1<sub>''D''</sub> を含まねばならず、それゆえに ''I'' は ''D'' 全体に一致せねばならない。逆に、左イデアルが零か全体にかぎるような単位的（結合）環は斜体となる（右イデアルに関する条件からも同じことがいえる）。斜体は自明でない両側イデアルを持たぬゆえ[[単純環|単純]]であり、特に可換単純環は常に可換体を成すが、一般に単純環であって斜体とならぬものが存在する。<br />
<br />
斜体 ''D'' の中心<br />
:<math>C(D) := \{ x \in D \mid xy = yx \mbox{ for all } y \in D\}</math><br />
は[[体 (数学)|可換体]]を成し、''D'' は中心 ''C''(''D'') 上の[[多元環]]となる。多元環に対すると同様、''D'' の中心に可換体 ''F'' が含まれるとき、''D'' は ''F'' 上定義されている、あるいは ''D'' は ''F'' 上の斜体であるという。逆に可換体 ''F'' が与えられたとき、''F'' を中心とするその上の斜体はどれくらい存在するのかとの問には ''F'' の[[ブラウアー群]]が答えをあたえる。これは、中心性および単純性が体の持ち上げで保たれることと、体上の[[単純環]]は常にある斜体上の全行列環に同型であるというアルティン・ウェダーバーンの定理とによるものである。<br />
<br />
可換体 ''F'' 上の有限階数（つまりベクトル空間として有限次元）となる斜体 ''D'' の ''F'' 上の次元は平方数 ''n''<sup>2</sup> であり、この ''n'' を ''D'' の ''F'' 上の次数 <span lang="en">(degree)</span> とよぶ。次数 ''n'' は ''D'' における ''F'' を含む極大可換体 ''L'' の ''F'' 上の次元として得られることが知られている<br />
<br />
特にある種の斜体は、アルティン環の極小イデアル上の自己準同型環として得られる。一般に、任意の環上の既約加群の自己準同型環が斜体を成すことを確かめることができ、それをシューアの補題 <span lang="en">(Schur's lemma)</span> と呼ぶ。<br />
<br />
斜体 ''D'' 上の（左・右）[[加群]]は可換体上の加群と同様に（ただし作用の左右は区別して）''D''上の[[ベクトル空間]]と呼ばれる。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[体 (数学)]]<br />
* [[環 (数学)]]<br />
* [[類体論]]<br />
* [[四元数]]<br />
<br />
[[Category:非可換環論|しやたい]]<br />
[[Category:多元環論|しやたい]]<br />
[[Category:代数的構造|しやたい]]<br />
[[Category:数学に関する記事|しやたい]]<br />
== 注記 ==<br />
<div style="font-size:smaller; line-height:141%"><references /></div><br />
<br />
[[cs:Těleso (algebra)]]<br />
[[de:Schiefkörper]]<br />
[[en:Division ring]]<br />
[[es:Anillo de división]]<br />
[[fr:Corps (mathématiques)]]<br />
[[it:Corpo (matematica)]]<br />
[[nl:Delingsring (Ned) / lichaam (Be)]]<br />
[[ru:Тело (алгебра)]]<br />
[[zh:除环]]</div>
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