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2025-11-30T14:53:02Z

PG:

宇宙

2025-11-30T14:50:21Z

PG: /* 外部リンク */

[[Image:Hubble ultra deep field.jpg|thumb|280px|宇宙]]
'''宇宙'''（うちゅう）には、次のような意味がある。

# 広義には、[[森羅万象]]（あらゆる物事）を含む天地の全体、「[[世界]]」の意味。
# [[哲学]]や[[宗教]]など、何らかの観点から見て、[[秩序]]をもつ完結した世界体系、「コスモス」の意味。
# 狭義には、[[天文学]]的・[[物理学]]的にみた「宇宙」と、[[地球]]の[[大気圏外]]の[[空間]] 「[[宇宙空間]]」の意味。

本項では主に、3. の天文学的・物理学的に見た宇宙について解説する。

== 意味 ==
「宇宙」という言葉の確定した起源や意味は不明だが、次のような説がある。

* 「宇」は[[空間]]全体、「宙」は[[時間]]全体（[[過去]]・[[現在]]・[[未来]]）を意味し、「宇宙」で[[時空]]（時間と空間）の全体を意味する（[[漢]]代の書物・「[[淮南子]]天文訓」）。

* 「宇」は「天」、「宙」は「地」を意味し、「宇宙」で「[[天地]]」のことを表す。

また、それぞれの観点から見た場合の「宇宙」の定義には、以下のようなものがある。

哲学的・宗教的観点から見た場合、宇宙全体の一部でありながら全体と類似したものを「'''小宇宙'''」と呼ぶのに対して、宇宙全体のことを「'''大宇宙'''」と呼ぶ。

[[天文学]]的観点から見た場合、「宇宙」はすべての[[天体]]・空間を含む領域をいう。[[銀河]]のことを「'''小宇宙'''」と呼ぶのに対して「'''大宇宙'''」ともいう。

一説には観測できる領域は[[宇宙の地平線]]の内側に限定されるが、大宇宙はそれよりはるかに大きいと考えられている。

[[物理学]]的観点から見た場合、「宇宙」は物質・エネルギーを含む[[時空連続体]]のまとまりである。

現代物理学における「宇宙」は、物理学的な「世界」全体ではなく、生成・膨張・収縮・消滅する物理系の一つである。理論的には無数の宇宙が生成・消滅を繰り返しているとも考えられている。

「地球の[[大気圏]]外の空間」という意味では、[[国際航空連盟]] (FAI) の規定によると高度100km以上のことを指す。[[アメリカ軍]]では高度50ノーチカルマイル (92.6km) 以上の高空を「宇宙」と定めている。

== 宇宙の年齢・大きさ ==
[[地球]]上から見た宇宙とは、[[人間]]が物理的に認知可能な最大範囲を指す言葉である。

[[2003年]]に[[アメリカ航空宇宙局]] (NASA) が発表した[[宇宙背景放射]]観測衛星・[[WMAP]] の観測結果では、宇宙は約137億年前に生まれたと推定されている。なお、宇宙が膨張しており、その宇宙の年齢が約137億年であることや、物質は光より速くないことから、宇宙の大きさは約137億[[光年]]であるというのは誤解である。実際には[[インフレーション理論]]に基づき、より宇宙は広大であろうと予想されている。これは[[特殊相対性理論]]上の平らな時空で意味をなすが、実際の宇宙の時空は[[一般相対性理論]]により曲がっているため光は直進しない。それに加え、膨張している宇宙の曲がった時空の距離を表わす場合には、[[共動距離]]が使われる。観測可能な宇宙の果てまでの共動距離は、地球を中心とすると全方向に約465億光年である。このことから地球を中心とした宇宙の大きさを考える場合、直径約930億光年の球とみなすことができる。宇宙の年齢が約137億年であるのに宇宙の大きさが約930億光年であることは、何ら矛盾しない。

== 宇宙の膨張 ==
宇宙は膨張を続けていることが分かっている。[[1929年]]に[[エドウィン・ハッブル]]が遠方の銀河の後退速度を観測し、距離が遠い銀河ほど大きな速度で地球から遠ざかっていることを発見した（[[ハッブルの法則]]）。

一方、これに先立つ[[1915年]]に[[アルベルト・アインシュタイン]]によって[[一般相対性理論]]が発表され、[[エネルギー]]と[[時空]]の曲率の間の関係を記述する重力場方程式（[[アインシュタイン方程式]]）が見出された。

これを受けて、宇宙は一様・等方であるという[[宇宙原理]]を満たすようなアインシュタイン方程式の解が、アインシュタイン自身や[[ウィレム・ド・ジッター]]、[[アレクサンドル・フリードマン]]、[[ジョルジュ・ルメートル]]らによって導かれたが、これらの解はいずれも時間とともに宇宙が膨張（または収縮）することを示していた。

当初、アインシュタインは宇宙は定常であると考えていたため、自分が見つけた解に定数（[[宇宙定数]]）を加えて宇宙が定常になるようにしたが、後にハッブルによって観測的に宇宙膨張が発見され、膨張宇宙という概念が定着した。

== 宇宙の誕生と死 ==
宇宙の始まりは「[[ビッグバン]]」と呼ばれる大爆発であったとされる。

ハッブルの法則によると、地球から遠ざかる天体の速さは地球からの距離に比例するため、逆に時間を遡れば、過去のある時点ではすべての天体は1点に集まっていた、つまり宇宙全体が非常に小さく高温・高密度の状態にあったことが推定される。

このような初期宇宙のモデルは「ビッグバン・モデル」と呼ばれ、1940年代に[[ジョージ・ガモフ]]によって提唱された。

その後、[[1965年]]にペンジアスとウィルソンによって、宇宙のあらゆる方角から絶対温度3度の黒体放射に相当するマイクロ波が放射されていることが発見された（[[宇宙背景放射]]）。これは、宇宙初期の高温な時代に放たれた熱放射の名残であると考えられ、ビッグバン・モデルの正しさを裏付ける証拠であるとされている。

しかしその後、宇宙の[[地平線問題]]や[[平坦性問題]]といった、初期の単純なビッグバン理論では説明できない問題が出てきたため、これらを解決する理論として1980年代に[[インフレーション理論]]が提唱されている。

また[[量子論]]によれば、発生初期の宇宙は[[真空]]のエネルギーに満ちており、それが[[斥力]]となり宇宙膨張の原動力になったとされる。

膨張する宇宙がこの先どのような運命をたどるかは、[[アインシュタイン方程式]]の解である[[宇宙モデル]]によって異なる。

一般に、一様等方という[[宇宙原理]]を満たすような宇宙モデルには、空間の曲率が 0 の平坦な宇宙、曲率が正の閉じた宇宙、曲率が負の開いた宇宙の3通りが可能である。

平坦な宇宙か開いた宇宙であれば宇宙は永遠に膨張を続ける。閉じた宇宙であればある時点で膨張が収縮に転じ、やがて大きさ0につぶれる（[[ビッグクランチ]]）。

[[2005年]]時点での最新の観測結果によれば、宇宙は平坦な時空であり、このまま引き続き広がり続け、止まることはないと考えられている。

宇宙が平坦であり永遠に膨張を続けるということは、最終的に宇宙は[[絶対零度]]に向かって永遠に冷却し続けることを意味する（現在は3K、約-270度だといわれている）。宇宙の終末に関するより詳細な議論については、[[宇宙の終焉]]を参照。

=== 宇宙の歴史 ===
{{main|宇宙の年表}}

== 宇宙の階層構造 ==
[[画像:Andromeda galaxy.jpg|180px|thumb|アンドロメダ銀河。0.7メガパーセクのかなた。 ]]
地球は[[惑星]]のひとつであり、いくつかの惑星が太陽の周りを回っている。太陽とその周りを回る惑星、その周りを回る[[衛星]]、そして[[小惑星]]や[[彗星]]が[[太陽系]]を構成している。

太陽のように自ら光っている星を[[恒星]]という。恒星が集まって[[星団]]を形成し、恒星や星団が集まって[[銀河]]を形成している。

銀河は単独で存在することもあるし、集団で存在することもある。銀河の集団を[[銀河団]]といい、銀河団や[[超銀河団]]の分布が網の目状の[[宇宙の大規模構造]]を形成している。網の目の間の空間には銀河はほとんど存在せず、[[超空洞]]（ボイド）と呼ばれている。

== メガパーセク ==
天文的な距離を表すのには[[光年]]がよく用いられるが、銀河間の距離や宇宙の構造を取り扱う場合には[[メガパーセク]] (Mpc) が使われることがある。

* [[かみのけ座銀河団]]までの距離： 90Mpc
* [[超空洞]]ボイドの直径： 30～10Mpc
* [[おとめ座銀河団]]までの平均距離： 20Mpc
* [[アンドロメダ銀河]]までの距離： 0.7Mpc
* [[銀河系]]の直径： 0.03Mpc

== 人類の宇宙観 ==
以下の各項目を参照。
* [[天動説]]
* [[地動説]]
* [[蓋天説]]
* [[渾天説]]
* [[宣夜説]]

==宇宙の観測・開発==
* [[望遠鏡]]の発明
* [[宇宙開発]]

== 関連項目 ==
* [[世界観]]
* [[天文学]]
* [[宇宙論]]
* [[時空]]
* [[存在]]
* [[天体]]
* [[銀河系]]（[[天の川]]銀河）
* [[恒星]]
* [[惑星]]
* [[宇宙基本法案]]

{{Commonscat|Space}}
{{Wiktionary|宇宙}}

{{地球の位置}}

== 外部リンク ==
* [http://www.nao.ac.jp/study/uchuzu/index.html 宇宙図]

{{デフォルトソート:うちゆう}}
[[Category:宇宙|*]]

宇宙

2025-11-30T14:49:36Z

PG: /* 人類の宇宙観 */

[[Image:Hubble ultra deep field.jpg|thumb|280px|宇宙]]
'''宇宙'''（うちゅう）には、次のような意味がある。

# 広義には、[[森羅万象]]（あらゆる物事）を含む天地の全体、「[[世界]]」の意味。
# [[哲学]]や[[宗教]]など、何らかの観点から見て、[[秩序]]をもつ完結した世界体系、「コスモス」の意味。
# 狭義には、[[天文学]]的・[[物理学]]的にみた「宇宙」と、[[地球]]の[[大気圏外]]の[[空間]] 「[[宇宙空間]]」の意味。

本項では主に、3. の天文学的・物理学的に見た宇宙について解説する。

== 意味 ==
「宇宙」という言葉の確定した起源や意味は不明だが、次のような説がある。

* 「宇」は[[空間]]全体、「宙」は[[時間]]全体（[[過去]]・[[現在]]・[[未来]]）を意味し、「宇宙」で[[時空]]（時間と空間）の全体を意味する（[[漢]]代の書物・「[[淮南子]]天文訓」）。

* 「宇」は「天」、「宙」は「地」を意味し、「宇宙」で「[[天地]]」のことを表す。

また、それぞれの観点から見た場合の「宇宙」の定義には、以下のようなものがある。

哲学的・宗教的観点から見た場合、宇宙全体の一部でありながら全体と類似したものを「'''小宇宙'''」と呼ぶのに対して、宇宙全体のことを「'''大宇宙'''」と呼ぶ。

[[天文学]]的観点から見た場合、「宇宙」はすべての[[天体]]・空間を含む領域をいう。[[銀河]]のことを「'''小宇宙'''」と呼ぶのに対して「'''大宇宙'''」ともいう。

一説には観測できる領域は[[宇宙の地平線]]の内側に限定されるが、大宇宙はそれよりはるかに大きいと考えられている。

[[物理学]]的観点から見た場合、「宇宙」は物質・エネルギーを含む[[時空連続体]]のまとまりである。

現代物理学における「宇宙」は、物理学的な「世界」全体ではなく、生成・膨張・収縮・消滅する物理系の一つである。理論的には無数の宇宙が生成・消滅を繰り返しているとも考えられている。

「地球の[[大気圏]]外の空間」という意味では、[[国際航空連盟]] (FAI) の規定によると高度100km以上のことを指す。[[アメリカ軍]]では高度50ノーチカルマイル (92.6km) 以上の高空を「宇宙」と定めている。

== 宇宙の年齢・大きさ ==
[[地球]]上から見た宇宙とは、[[人間]]が物理的に認知可能な最大範囲を指す言葉である。

[[2003年]]に[[アメリカ航空宇宙局]] (NASA) が発表した[[宇宙背景放射]]観測衛星・[[WMAP]] の観測結果では、宇宙は約137億年前に生まれたと推定されている。なお、宇宙が膨張しており、その宇宙の年齢が約137億年であることや、物質は光より速くないことから、宇宙の大きさは約137億[[光年]]であるというのは誤解である。実際には[[インフレーション理論]]に基づき、より宇宙は広大であろうと予想されている。これは[[特殊相対性理論]]上の平らな時空で意味をなすが、実際の宇宙の時空は[[一般相対性理論]]により曲がっているため光は直進しない。それに加え、膨張している宇宙の曲がった時空の距離を表わす場合には、[[共動距離]]が使われる。観測可能な宇宙の果てまでの共動距離は、地球を中心とすると全方向に約465億光年である。このことから地球を中心とした宇宙の大きさを考える場合、直径約930億光年の球とみなすことができる。宇宙の年齢が約137億年であるのに宇宙の大きさが約930億光年であることは、何ら矛盾しない。

== 宇宙の膨張 ==
宇宙は膨張を続けていることが分かっている。[[1929年]]に[[エドウィン・ハッブル]]が遠方の銀河の後退速度を観測し、距離が遠い銀河ほど大きな速度で地球から遠ざかっていることを発見した（[[ハッブルの法則]]）。

一方、これに先立つ[[1915年]]に[[アルベルト・アインシュタイン]]によって[[一般相対性理論]]が発表され、[[エネルギー]]と[[時空]]の曲率の間の関係を記述する重力場方程式（[[アインシュタイン方程式]]）が見出された。

これを受けて、宇宙は一様・等方であるという[[宇宙原理]]を満たすようなアインシュタイン方程式の解が、アインシュタイン自身や[[ウィレム・ド・ジッター]]、[[アレクサンドル・フリードマン]]、[[ジョルジュ・ルメートル]]らによって導かれたが、これらの解はいずれも時間とともに宇宙が膨張（または収縮）することを示していた。

当初、アインシュタインは宇宙は定常であると考えていたため、自分が見つけた解に定数（[[宇宙定数]]）を加えて宇宙が定常になるようにしたが、後にハッブルによって観測的に宇宙膨張が発見され、膨張宇宙という概念が定着した。

== 宇宙の誕生と死 ==
宇宙の始まりは「[[ビッグバン]]」と呼ばれる大爆発であったとされる。

ハッブルの法則によると、地球から遠ざかる天体の速さは地球からの距離に比例するため、逆に時間を遡れば、過去のある時点ではすべての天体は1点に集まっていた、つまり宇宙全体が非常に小さく高温・高密度の状態にあったことが推定される。

このような初期宇宙のモデルは「ビッグバン・モデル」と呼ばれ、1940年代に[[ジョージ・ガモフ]]によって提唱された。

その後、[[1965年]]にペンジアスとウィルソンによって、宇宙のあらゆる方角から絶対温度3度の黒体放射に相当するマイクロ波が放射されていることが発見された（[[宇宙背景放射]]）。これは、宇宙初期の高温な時代に放たれた熱放射の名残であると考えられ、ビッグバン・モデルの正しさを裏付ける証拠であるとされている。

しかしその後、宇宙の[[地平線問題]]や[[平坦性問題]]といった、初期の単純なビッグバン理論では説明できない問題が出てきたため、これらを解決する理論として1980年代に[[インフレーション理論]]が提唱されている。

また[[量子論]]によれば、発生初期の宇宙は[[真空]]のエネルギーに満ちており、それが[[斥力]]となり宇宙膨張の原動力になったとされる。

膨張する宇宙がこの先どのような運命をたどるかは、[[アインシュタイン方程式]]の解である[[宇宙モデル]]によって異なる。

一般に、一様等方という[[宇宙原理]]を満たすような宇宙モデルには、空間の曲率が 0 の平坦な宇宙、曲率が正の閉じた宇宙、曲率が負の開いた宇宙の3通りが可能である。

平坦な宇宙か開いた宇宙であれば宇宙は永遠に膨張を続ける。閉じた宇宙であればある時点で膨張が収縮に転じ、やがて大きさ0につぶれる（[[ビッグクランチ]]）。

[[2005年]]時点での最新の観測結果によれば、宇宙は平坦な時空であり、このまま引き続き広がり続け、止まることはないと考えられている。

宇宙が平坦であり永遠に膨張を続けるということは、最終的に宇宙は[[絶対零度]]に向かって永遠に冷却し続けることを意味する（現在は3K、約-270度だといわれている）。宇宙の終末に関するより詳細な議論については、[[宇宙の終焉]]を参照。

=== 宇宙の歴史 ===
{{main|宇宙の年表}}

== 宇宙の階層構造 ==
[[画像:Andromeda galaxy.jpg|180px|thumb|アンドロメダ銀河。0.7メガパーセクのかなた。 ]]
地球は[[惑星]]のひとつであり、いくつかの惑星が太陽の周りを回っている。太陽とその周りを回る惑星、その周りを回る[[衛星]]、そして[[小惑星]]や[[彗星]]が[[太陽系]]を構成している。

太陽のように自ら光っている星を[[恒星]]という。恒星が集まって[[星団]]を形成し、恒星や星団が集まって[[銀河]]を形成している。

銀河は単独で存在することもあるし、集団で存在することもある。銀河の集団を[[銀河団]]といい、銀河団や[[超銀河団]]の分布が網の目状の[[宇宙の大規模構造]]を形成している。網の目の間の空間には銀河はほとんど存在せず、[[超空洞]]（ボイド）と呼ばれている。

== メガパーセク ==
天文的な距離を表すのには[[光年]]がよく用いられるが、銀河間の距離や宇宙の構造を取り扱う場合には[[メガパーセク]] (Mpc) が使われることがある。

* [[かみのけ座銀河団]]までの距離： 90Mpc
* [[超空洞]]ボイドの直径： 30～10Mpc
* [[おとめ座銀河団]]までの平均距離： 20Mpc
* [[アンドロメダ銀河]]までの距離： 0.7Mpc
* [[銀河系]]の直径： 0.03Mpc

== 人類の宇宙観 ==
以下の各項目を参照。
* [[天動説]]
* [[地動説]]
* [[蓋天説]]
* [[渾天説]]
* [[宣夜説]]

==宇宙の観測・開発==
* [[望遠鏡]]の発明
* [[宇宙開発]]

== 関連項目 ==
* [[世界観]]
* [[天文学]]
* [[宇宙論]]
* [[時空]]
* [[存在]]
* [[天体]]
* [[銀河系]]（[[天の川]]銀河）
* [[恒星]]
* [[惑星]]
* [[宇宙基本法案]]

{{Commonscat|Space}}
{{Wiktionary|宇宙}}

{{地球の位置}}

== 外部リンク ==
* [http://www.nao.ac.jp/study/uchuzu/index.html 宇宙図]

[[Category:宇宙|*]]

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ファイル:Hubble ultra deep field.jpg

2025-11-30T14:48:57Z

PG:

ファイル:Andromeda galaxy.jpg

2025-11-30T14:47:34Z

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ファイル:Hubble sequence photo.png

2025-11-30T14:44:37Z

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銀河

2025-11-30T14:43:59Z

PG:

{{Otheruses|天体|その他の「銀河」|銀河 (曖昧さ回避)}}
[[Image:NGC 4414 (NASA-med).jpg|300px|thumb|[[NGC 4414]]は[[かみのけ座]]にある典型的な渦巻銀河。直径約5万5000[[光年]]。地球からの距離はおよそ6000万光年の彼方にある。]]
'''銀河'''（ぎんが、galaxy）は、数百億から数千億個の[[恒星]]や[[星間物質]]が重力的にまとまってできている[[天体]]である。'''小宇宙'''あるいは'''島宇宙'''ともいう。

== 銀河の観測史 ==
[[File:Hubble sequence photo.png|thumb|360px|[[ハッブル分類]]による銀河の分類。E は楕円銀河の種類、S は渦巻銀河の種類を指す。SB は[[棒渦巻銀河]]である。表の左側は「早期型」、右側は「晩期型」とも呼ばれる{{Efn2|ハッブルは分類において、表の左側に置いた楕円銀河が変化し、右側の渦巻銀河になると考えた。しかし現在では、これらの形態は誕生時の条件に左右されると考えられている。（[[#ニュートン (2011-8)|ニュートン2011年8月号、pp.66-67、ハッブルがえがいた銀河の系統樹]]、[[#沼澤ら (2007)|沼澤ら 2007、p.158]]）}}。]]

夜空見える天体には[[恒星]]や[[惑星]]などの点光源の天体と、それらとは異なって[[雲]]のように面積を持って広がった天体とがあることが古くから知られていた。後者には、現在で言うところの[[散開星団]]・[[球状星団]]・[[散光星雲]]・銀河など様々な天体が含まれているが、その正体は長く明らかになっておらず、'''星雲''' (nebula) と総称されていた。

[[1600年代]]初めに[[望遠鏡]]が発明されると、イタリアの[[ガリレオ・ガリレイ]]は自作の望遠鏡で様々な天体を観察し、それまでの宇宙観を覆す多くの発見をした。その一つに、[[天の川]]が恒星の集団であることを発見したことが挙げられる。この数年後の[[1612年]]にはドイツの[[シモン・マリウス]]が我々の銀河系の隣の銀河である[[アンドロメダ銀河]] (M31) を初めて望遠鏡で観測しているが、当時の望遠鏡ではこの銀河の個々の星を分解することはできなかった。

[[1755年]]にはドイツの[[イマヌエル・カント]]が[[太陽系]]からの類推を元に、天の川はたくさんの恒星が[[重力]]で回転している天体で、これを内側から見ているために天球上で帯状に見えているとする説を提案した。さらにカントは、星雲のうちのいくつかは我々の天の川と同様の天体が遠方にあるものではないかと指摘し、それを指して'''島宇宙'''と称した。

1764年から1784年にかけてフランスの彗星捜索家[[シャルル・メシエ]]は、星雲と呼ばれていた雲状の天体を[[彗星]]と区別するために[[メシエ天体|メシエ・カタログ]]と呼ばれる星雲のカタログを発表した。この時代でも、星雲はもっぱらその形態で分類されるにとどまり、その性質の違いや距離などについてはまだ分かっていなかった。

[[1788年]]にイギリスの[[ウィリアム・ハーシェル]]は、夜空の星々の数をあらゆる方向について数え、暗い星ほど距離が遠いという仮定を用いて恒星の空間分布を求めようと試みた。その結果、恒星は[[天の川]]に近い領域ほど数が多いことを発見した。これによって、カントが唱えていた通り、天の川は我々の[[太陽系]]を含む円盤状の恒星集団（[[銀河系]]）であるらしいことが明らかになった(パーシェルの銀河)

[[1840年代]]にはイギリスの[[ロス卿]]が口径72インチの大望遠鏡を建設し、これを用いて様々な天体のスケッチを残した。彼は[[りょうけん座]]の [[子持ち銀河|M51]] が渦巻状の姿をしていることを発見した。彼は星雲の中に同様の渦巻状の天体が数多く存在すること、一方でそのような特徴を持たない楕円形のものもあることを発見した。

20世紀に入ると、パーシェルの研究を引き継いで、我々の天の川の形とその中での太陽系の位置とを正確に決めようとする試みが行われた。[[1920年]]にはオランダの[[ヤコブス・カプタイン|カプタイン]]がパーシェルの手法をより洗練させた観測を行い、銀河系は直径約15k[[パーセク|pc]]の楕円体で、[[太陽]]はそのほぼ中心にあるとする説を唱えた。一方、アメリカの[[ハーロー・シャプレー|シャプレー]]は[[球状星団]]の空間分布がいて座の方向に集中していることから、銀河系は直径約70kpcの平らな円盤で、太陽はそのはずれに位置すると主張した。実際には[[星間塵]]による光の吸収の効果を考慮していなかったため、銀河系の大きさについての推定はどちらも正しい値ではなかったが、太陽系が円盤状の銀河系のはずれにあるというシャプレーの描像は今日でも正しいとされている。

[[Image:Andromeda galaxy.jpg|thumb|260px|left|紫外線で見たアンドロメダ銀河 (M31, NGC224)]]
また20世紀には、ロス卿が見出した渦巻星雲や楕円型の星雲の正体も明らかにされた。[[1912年]]には[[セファイド変光星|セファイド]]と呼ばれる[[変光星]]の絶対的な明るさと変光周期の間に一定の関係があることが発見されていた。この周期-光度関係を用いると、星団に含まれるセファイドを観測すれば星団までの距離が測定できることとなる。当時、いわゆる渦巻星雲が銀河系内の天体か銀河系外の天体かについては依然として明らかになっておらず、これをめぐって1920年にシャプレーとカーティスの間で公開論争が行われたほどであったが、[[1924年]]に[[ハッブル]]が[[アンドロメダ銀河]] (M31) の中にセファイドを発見し、それによってM31までの距離が約90万光年であると計算された（その後、セファイドに2つの[[恒星の種族|種族]]があることが判明したため、この距離は現在では約230万光年に修正されている）。この値は当時知られていた銀河系の大きさに比べて十分大きな値であったため、M31が銀河系外にある天体であることが確定した。これによって、M31と同様の渦巻銀河は全て銀河系外の天体であるという描像が定着した。

このような歴史的事情を反映して、かつては銀河も[[星間ガス]]からなる[[星雲]](nebula) も共に「星雲」と呼ばれ、両者を区別するために'''銀河系外星雲'''/'''銀河系内星雲'''などと呼ばれていた時期があったが、現在では両者は '''銀河'''(galaxy) /'''星雲'''(nebula) として呼称の上からも明確に区別されるのが普通である。

[[1944年]]には、オランダの[[ヘンドリク・ファン・デ・フルスト|ファン・デ・フルスト]]によって、中性水素原子が波長21cmの電波（[[21cm線]]）を放射することが明らかにされた。この電波は星間吸収の影響を受けないため、これを用いて銀河系全体の水素ガスの分布と運動が調べられるようになった。その結果、我々の銀河系にも渦巻構造があることが明らかになった。現在では電波望遠鏡の発達により、銀河系外の銀河の水素ガスの分布も調べられている。

1970年代になると、水素の21cm電波観測から得られた銀河の回転速度が銀河の外縁部近くでも遅くなっていないことが分かり、電磁波で観測される銀河の質量をはるかにしのぐ質量が銀河全体に分布していることが明らかにされた。この「見えない質量」を[[暗黒物質|ダークマター]]と呼ぶ。ダークマターの正体については様々な説が出されているが現在も明らかになっていない。

== 分類 ==
様々な形状の銀河系を初めて分類したのは、[[エドウィン・ハッブル]]である。ハッブルは、1926年に自身による観測結果から'''ハッブルの音叉図'''あるいは[[ハッブル分類]]と呼ばれる、銀河の分類図を作った。

;ハッブルの音叉図による形による銀河の分類
* [[楕円銀河]]:主に年老いた星により形成される。恒星の材料の水素ガスは過去に消費されたためにほとんど無く、星形成が起こっていないと考えられている。ほぼ真円状のものからかなり扁平なものまで8種に分かれる。円盤部分と中心部の[[銀河バルジ|バルジ]]との違いはほとんどない。
* [[レンズ状銀河]]:渦巻き銀河に似るが円盤部に腕を持たない。中心が円形のものと端が棒状のものに分けられる。
* [[渦巻銀河]]:中心部のバルジと円盤部の違いが顕著で、円盤部には渦巻状の腕のような構造を持つ。普通の渦巻き型と（例えばおおぐま座のM51とか）、中心部を突き刺すような構造を持つ棒渦巻銀河に分けられる。中心部は老いた恒星で形成され、円盤部は比較的若く青白い高温の恒星で形成される。この渦巻銀河、棒渦巻銀河ともに星間物質も豊富で、星形成が盛んである。
* [[不規則銀河]]:上記の型に当てはまらないものが不規則銀河である。[[大マゼラン雲]]や、[[M82]]などがこの仲間。不規則銀河の多くは水素ガスがとても多く、爆発的に[[星形成]]が行われていて、若い恒星が多く観測されている。銀河同士の衝突により不規則に変形したものもある。
* そのほかにも、銀河の周りを回る[[矮小銀河]]などがある。

また、（主に地球からの）見た目による分類もある。'''Face-on銀河'''は渦が正面に見える銀河であり、'''Edge-on銀河'''は渦が横から見える銀河である。必ずしも真正面あるいは真横から見える銀河ばかりではないので、「明確なface on銀河」「face-onに近い銀河」のような言い方もする。

== 銀河の構造 ==
銀河の構造は渦巻銀河と楕円銀河で異なる。

渦巻銀河の場合、銀河本体は[[ディスク]]と呼ばれる円盤からなり、中心の周りを[[差動回転]]している。ディスクには[[種族I]]と呼ばれる恒星が多く含まれ、[[星間物質]]も多く存在する。一方、中心付近には[[銀河バルジ|バルジ]]と呼ばれるディスクよりもやや膨らんだ部分がある。バルジには[[種族II]]と呼ばれる古くて金属量の少ない恒星が多い。ディスクやバルジの外側には[[ハロ|ハロー]]と呼ばれる領域が広がる。ハローには数百個の[[球状星団]]が球対称に分布し、銀河を周回している。

楕円銀河の場合には銀河本体は3軸不等の楕円体をした恒星の集団で、顕著な構造は見られない。渦巻銀河とは異なり、銀河全体としての回転運動はほとんど持たず、代わりに恒星のランダムな運動によって重力とバランスし、銀河全体の形が保たれている。楕円銀河には星間ガスはほとんど含まれていない。銀河の外側には渦巻銀河と同様に球状星団を含むハローが存在する。

[[1990年代]]以降、多くの銀河の中心に106-8[[太陽質量]]の[[ブラックホール|大質量ブラックホール]]が発見されている。現在ではほとんど全ての銀河の中心にはこうした大質量ブラックホールがあるのではないかと考えられている。

また、銀河のハロー部分には、恒星や星間物質などの「目に見える質量」の10倍以上の質量があることが、渦巻銀河の回転運動の研究から明らかになっている。このため、ハローのことをダークハローと呼ぶこともある。この見えない質量を担うダークマターの正体については明らかになっていない。

== 銀河の活動性・相互作用 ==
銀河の中には[[活動銀河]]と呼ばれる激しい活動性を持つ銀河が存在する。活動銀河はその性質によって[[クエーサー]]・[[電波銀河]]・[[セイファート銀河]]・[[ブレーザー]]などに分けられるが、全てのタイプで銀河中心核にある大質量ブラックホールが活動性の源となっているという活動銀河の統一モデルが現在では広く受け入れられている。

また、[[銀河団]]など銀河の密度が高い領域では、銀河同士の衝突・合体なども頻繁に起こる。このような衝突の最中にあると見られる銀河も多数発見されている。このような銀河同士の近接遭遇や衝突が起こると、銀河の[[潮汐力]]によって銀河内のガスが圧縮され、[[星形成]]が爆発的に起こる場合がある。このような爆発的星形成を[[スターバースト]]と呼ぶ。スターバーストが銀河全体で大規模に起こっている銀河を[[スターバースト銀河]]と呼ぶ。

== 銀河団・大規模構造 ==
宇宙の中での銀河の個数密度は一様ではなく、銀河の中には互いに重力的に束縛された数十個から数千個にわたる集団を形成しているものがある。このような銀河の集団を銀河群あるいは[[銀河団]]と呼ぶ。銀河団に属する銀河を銀河団銀河、特定の集団に属さない銀河をフィールド銀河、と呼んで区別することもある。また銀河団の中心には cD 銀河と呼ばれる非常に巨大で明るい楕円銀河が存在することがある。1990年代には、銀河団同士がさらにフィラメント状に連なって[[宇宙の大規模構造|大規模構造]]と呼ばれる大きな空間構造を作っていることが明らかになっている。

== 主な銀河 ==
* [[銀河系]]（天の川銀河）
* [[アンドロメダ銀河]]

== 関連項目 ==
{{Commons|Category:Galaxies}}
*[[銀河天文学]]
*[[銀河団]]
*[[メシエ天体]]
*[[ニュージェネラルカタログ]](NGC)
*[[インデックスカタログ]](IC)

{{DEFAULTSORT:きんか}}
[[Category:天体]]
[[Category:天文学]]
[[Category:銀河|*]]
[[Category:天文学に関する記事]]

[[en:Galaxy]]

ファイル:NGC 4414 (NASA-med).jpg

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銀河

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{{Otheruses|天体|その他の「銀河」|銀河 (曖昧さ回避)}}
[[Image:NGC 4414 (NASA-med).jpg|300px|thumb|[[NGC 4414]]は[[かみのけ座]]にある典型的な渦巻銀河。直径約5万5000[[光年]]。地球からの距離はおよそ6000万光年の彼方にある。]]
'''銀河'''（ぎんが、galaxy）は、数百億から数千億個の[[恒星]]や[[星間物質]]が重力的にまとまってできている[[天体]]である。'''小宇宙'''あるいは'''島宇宙'''ともいう。

== 銀河の観測史 ==
[[Image:Herschel-Galaxy.png|thumb|right|250px|パーシェルが描いた天の川銀河の構造]]

夜空見える天体には[[恒星]]や[[惑星]]などの点光源の天体と、それらとは異なって[[雲]]のように面積を持って広がった天体とがあることが古くから知られていた。後者には、現在で言うところの[[散開星団]]・[[球状星団]]・[[散光星雲]]・銀河など様々な天体が含まれているが、その正体は長く明らかになっておらず、'''星雲''' (nebula) と総称されていた。

[[1600年代]]初めに[[望遠鏡]]が発明されると、イタリアの[[ガリレオ・ガリレイ]]は自作の望遠鏡で様々な天体を観察し、それまでの宇宙観を覆す多くの発見をした。その一つに、[[天の川]]が恒星の集団であることを発見したことが挙げられる。この数年後の[[1612年]]にはドイツの[[シモン・マリウス]]が我々の銀河系の隣の銀河である[[アンドロメダ銀河]] (M31) を初めて望遠鏡で観測しているが、当時の望遠鏡ではこの銀河の個々の星を分解することはできなかった。

[[1755年]]にはドイツの[[イマヌエル・カント]]が[[太陽系]]からの類推を元に、天の川はたくさんの恒星が[[重力]]で回転している天体で、これを内側から見ているために天球上で帯状に見えているとする説を提案した。さらにカントは、星雲のうちのいくつかは我々の天の川と同様の天体が遠方にあるものではないかと指摘し、それを指して'''島宇宙'''と称した。

1764年から1784年にかけてフランスの彗星捜索家[[シャルル・メシエ]]は、星雲と呼ばれていた雲状の天体を[[彗星]]と区別するために[[メシエ天体|メシエ・カタログ]]と呼ばれる星雲のカタログを発表した。この時代でも、星雲はもっぱらその形態で分類されるにとどまり、その性質の違いや距離などについてはまだ分かっていなかった。

[[1788年]]にイギリスの[[ウィリアム・ハーシェル]]は、夜空の星々の数をあらゆる方向について数え、暗い星ほど距離が遠いという仮定を用いて恒星の空間分布を求めようと試みた。その結果、恒星は[[天の川]]に近い領域ほど数が多いことを発見した。これによって、カントが唱えていた通り、天の川は我々の[[太陽系]]を含む円盤状の恒星集団（[[銀河系]]）であるらしいことが明らかになった(パーシェルの銀河)

[[1840年代]]にはイギリスの[[ロス卿]]が口径72インチの大望遠鏡を建設し、これを用いて様々な天体のスケッチを残した。彼は[[りょうけん座]]の [[子持ち銀河|M51]] が渦巻状の姿をしていることを発見した。彼は星雲の中に同様の渦巻状の天体が数多く存在すること、一方でそのような特徴を持たない楕円形のものもあることを発見した。

20世紀に入ると、パーシェルの研究を引き継いで、我々の天の川の形とその中での太陽系の位置とを正確に決めようとする試みが行われた。[[1920年]]にはオランダの[[ヤコブス・カプタイン|カプタイン]]がパーシェルの手法をより洗練させた観測を行い、銀河系は直径約15k[[パーセク|pc]]の楕円体で、[[太陽]]はそのほぼ中心にあるとする説を唱えた。一方、アメリカの[[ハーロー・シャプレー|シャプレー]]は[[球状星団]]の空間分布がいて座の方向に集中していることから、銀河系は直径約70kpcの平らな円盤で、太陽はそのはずれに位置すると主張した。実際には[[星間塵]]による光の吸収の効果を考慮していなかったため、銀河系の大きさについての推定はどちらも正しい値ではなかったが、太陽系が円盤状の銀河系のはずれにあるというシャプレーの描像は今日でも正しいとされている。

[[Image:Andromeda galaxy.jpg|thumb|260px|left|紫外線で見たアンドロメダ銀河 (M31, NGC224)]]
また20世紀には、ロス卿が見出した渦巻星雲や楕円型の星雲の正体も明らかにされた。[[1912年]]には[[セファイド変光星|セファイド]]と呼ばれる[[変光星]]の絶対的な明るさと変光周期の間に一定の関係があることが発見されていた。この周期-光度関係を用いると、星団に含まれるセファイドを観測すれば星団までの距離が測定できることとなる。当時、いわゆる渦巻星雲が銀河系内の天体か銀河系外の天体かについては依然として明らかになっておらず、これをめぐって1920年にシャプレーとカーティスの間で公開論争が行われたほどであったが、[[1924年]]に[[ハッブル]]が[[アンドロメダ銀河]] (M31) の中にセファイドを発見し、それによってM31までの距離が約90万光年であると計算された（その後、セファイドに2つの[[恒星の種族|種族]]があることが判明したため、この距離は現在では約230万光年に修正されている）。この値は当時知られていた銀河系の大きさに比べて十分大きな値であったため、M31が銀河系外にある天体であることが確定した。これによって、M31と同様の渦巻銀河は全て銀河系外の天体であるという描像が定着した。

このような歴史的事情を反映して、かつては銀河も[[星間ガス]]からなる[[星雲]](nebula) も共に「星雲」と呼ばれ、両者を区別するために'''銀河系外星雲'''/'''銀河系内星雲'''などと呼ばれていた時期があったが、現在では両者は '''銀河'''(galaxy) /'''星雲'''(nebula) として呼称の上からも明確に区別されるのが普通である。

[[1944年]]には、オランダの[[ヘンドリク・ファン・デ・フルスト|ファン・デ・フルスト]]によって、中性水素原子が波長21cmの電波（[[21cm線]]）を放射することが明らかにされた。この電波は星間吸収の影響を受けないため、これを用いて銀河系全体の水素ガスの分布と運動が調べられるようになった。その結果、我々の銀河系にも渦巻構造があることが明らかになった。現在では電波望遠鏡の発達により、銀河系外の銀河の水素ガスの分布も調べられている。

1970年代になると、水素の21cm電波観測から得られた銀河の回転速度が銀河の外縁部近くでも遅くなっていないことが分かり、電磁波で観測される銀河の質量をはるかにしのぐ質量が銀河全体に分布していることが明らかにされた。この「見えない質量」を[[暗黒物質|ダークマター]]と呼ぶ。ダークマターの正体については様々な説が出されているが現在も明らかになっていない。

== 分類 ==
様々な形状の銀河系を初めて分類したのは、[[エドウィン・ハッブル]]である。ハッブルは、1926年に自身による観測結果から'''ハッブルの音叉図'''あるいは[[ハッブル分類]]と呼ばれる、銀河の分類図を作った。

;ハッブルの音叉図による形による銀河の分類
* [[楕円銀河]]:主に年老いた星により形成される。恒星の材料の水素ガスは過去に消費されたためにほとんど無く、星形成が起こっていないと考えられている。ほぼ真円状のものからかなり扁平なものまで8種に分かれる。円盤部分と中心部の[[銀河バルジ|バルジ]]との違いはほとんどない。
* [[レンズ状銀河]]:渦巻き銀河に似るが円盤部に腕を持たない。中心が円形のものと端が棒状のものに分けられる。
* [[渦巻銀河]]:中心部のバルジと円盤部の違いが顕著で、円盤部には渦巻状の腕のような構造を持つ。普通の渦巻き型と（例えばおおぐま座のM51とか）、中心部を突き刺すような構造を持つ棒渦巻銀河に分けられる。中心部は老いた恒星で形成され、円盤部は比較的若く青白い高温の恒星で形成される。この渦巻銀河、棒渦巻銀河ともに星間物質も豊富で、星形成が盛んである。
* [[不規則銀河]]:上記の型に当てはまらないものが不規則銀河である。[[大マゼラン雲]]や、[[M82]]などがこの仲間。不規則銀河の多くは水素ガスがとても多く、爆発的に[[星形成]]が行われていて、若い恒星が多く観測されている。銀河同士の衝突により不規則に変形したものもある。
* そのほかにも、銀河の周りを回る[[矮小銀河]]などがある。

また、（主に地球からの）見た目による分類もある。'''Face-on銀河'''は渦が正面に見える銀河であり、'''Edge-on銀河'''は渦が横から見える銀河である。必ずしも真正面あるいは真横から見える銀河ばかりではないので、「明確なface on銀河」「face-onに近い銀河」のような言い方もする。

== 銀河の構造 ==
銀河の構造は渦巻銀河と楕円銀河で異なる。

渦巻銀河の場合、銀河本体は[[ディスク]]と呼ばれる円盤からなり、中心の周りを[[差動回転]]している。ディスクには[[種族I]]と呼ばれる恒星が多く含まれ、[[星間物質]]も多く存在する。一方、中心付近には[[銀河バルジ|バルジ]]と呼ばれるディスクよりもやや膨らんだ部分がある。バルジには[[種族II]]と呼ばれる古くて金属量の少ない恒星が多い。ディスクやバルジの外側には[[ハロ|ハロー]]と呼ばれる領域が広がる。ハローには数百個の[[球状星団]]が球対称に分布し、銀河を周回している。

楕円銀河の場合には銀河本体は3軸不等の楕円体をした恒星の集団で、顕著な構造は見られない。渦巻銀河とは異なり、銀河全体としての回転運動はほとんど持たず、代わりに恒星のランダムな運動によって重力とバランスし、銀河全体の形が保たれている。楕円銀河には星間ガスはほとんど含まれていない。銀河の外側には渦巻銀河と同様に球状星団を含むハローが存在する。

[[1990年代]]以降、多くの銀河の中心に106-8[[太陽質量]]の[[ブラックホール|大質量ブラックホール]]が発見されている。現在ではほとんど全ての銀河の中心にはこうした大質量ブラックホールがあるのではないかと考えられている。

また、銀河のハロー部分には、恒星や星間物質などの「目に見える質量」の10倍以上の質量があることが、渦巻銀河の回転運動の研究から明らかになっている。このため、ハローのことをダークハローと呼ぶこともある。この見えない質量を担うダークマターの正体については明らかになっていない。

== 銀河の活動性・相互作用 ==
銀河の中には[[活動銀河]]と呼ばれる激しい活動性を持つ銀河が存在する。活動銀河はその性質によって[[クエーサー]]・[[電波銀河]]・[[セイファート銀河]]・[[ブレーザー]]などに分けられるが、全てのタイプで銀河中心核にある大質量ブラックホールが活動性の源となっているという活動銀河の統一モデルが現在では広く受け入れられている。

また、[[銀河団]]など銀河の密度が高い領域では、銀河同士の衝突・合体なども頻繁に起こる。このような衝突の最中にあると見られる銀河も多数発見されている。このような銀河同士の近接遭遇や衝突が起こると、銀河の[[潮汐力]]によって銀河内のガスが圧縮され、[[星形成]]が爆発的に起こる場合がある。このような爆発的星形成を[[スターバースト]]と呼ぶ。スターバーストが銀河全体で大規模に起こっている銀河を[[スターバースト銀河]]と呼ぶ。

== 銀河団・大規模構造 ==
宇宙の中での銀河の個数密度は一様ではなく、銀河の中には互いに重力的に束縛された数十個から数千個にわたる集団を形成しているものがある。このような銀河の集団を銀河群あるいは[[銀河団]]と呼ぶ。銀河団に属する銀河を銀河団銀河、特定の集団に属さない銀河をフィールド銀河、と呼んで区別することもある。また銀河団の中心には cD 銀河と呼ばれる非常に巨大で明るい楕円銀河が存在することがある。1990年代には、銀河団同士がさらにフィラメント状に連なって[[宇宙の大規模構造|大規模構造]]と呼ばれる大きな空間構造を作っていることが明らかになっている。

== 主な銀河 ==
* [[銀河系]]（天の川銀河）
* [[アンドロメダ銀河]]

== 関連項目 ==
{{Commons|Category:Galaxies}}
*[[銀河天文学]]
*[[銀河団]]
*[[メシエ天体]]
*[[ニュージェネラルカタログ]](NGC)
*[[インデックスカタログ]](IC)

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円 (数学)

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PG: /* 外部リンク */

[[ファイル:Circle-withsegments.svg|thumb|円]]
[[数学]]において、'''円'''（えん、{{lang-en-short|circle}}）とは、[[平面]]（2次元[[ユークリッド空間]]）上の、定点O（オー）からの距離が等しい[[点 (数学)|点]]の集合でできる[[曲線]]のことをいう。

その「定点O」を円の'''中心'''という。円の中心と円周上の1点を結ぶ[[線分]]や、その線分の長さは'''半径'''という<ref>デジタル大辞泉【半径】[https://kotobank.jp/word/%E5%8D%8A%E5%BE%84-606289]</ref><ref>精選版日本国語大辞典【半径】[https://kotobank.jp/word/%E5%8D%8A%E5%BE%84-606289]</ref>。

円は[[定幅図形]]の一つ。

なお円が囲む部分すなわち「円の内部」を含めて「円」ということもある。この場合、厳密さを必要とする時は、境界となる曲線のほうは「[[円周]]」（{{lang-en-short|circumference|links=no}}）という。これに対して、内部を含めていることを強調するときには「[[円板]]」（{{lang-en-short|disk|links=no}}）という。また、三角形、四角形などと呼称を統一して「円形」ということもある。

習慣的に、とりあえず円をひとつ挙げその中心に名称をつける時は「O」（オー）と呼ぶことが多い。これは[[原点 (数学)|原点]]を英語で「オリジン」（{{Lang-en-short|Origin|links=no}}）というのでその[[頭文字]]をとったものである。中心が点Oである円は「円O」（えんオー）と呼ぶ。なお中心は英語では「センター」（{{Lang-en-short|Center|links=no}}）というので、円の中心が「C」（シー）になっている文献もある<ref>[https://www.kyo-kai.co.jp/img/support/motto/motto24.pdf もっと数学の世界、「原点はオー！」]</ref>。

なお、数学以外の分野ではこの曲線のことを（あるいはそれに近い[[オーバル|卵形]]の総称として）「'''丸'''」（まる）という俗称で呼称することがある。
[[画像:円.png|thumb|right|円: 中心、半径・直径、円周]]
== 円の性質 ==
=== 弦と弧 ===
円周と2点で交わる直線を'''[[割線]]'''という。このときの交点を2点 A, B とするとき、円周によって、割線から切り取られる線分 AB のことを'''弦'''といい、弦 AB と呼ぶ。特に円の中心を通る割線を'''中心線'''という。中心線は円の対称軸であり、[[円の面積]]を2等分する。円周が中心線から切り取る弦やその長さを、円の'''直径'''という。直径は半径の2倍に等しい。円周の長さは、円の大きさによってさまざまであるが、円周の長さの直径に対する比の値は、円に依らず一定であり、これを'''[[円周率]]'''という。特に断りのない限り、普通、円周率は [[π|{{π}}]] で表す。円の半径を ''r''(半径の英語 radiusの頭文字が由来) とすると、円周の長さは 2{{π}}''r'' で表される。また、[[円の面積]]は、{{π}}''r'' {{sup|2}} で表すことができる。同じ長さの周を持つ閉曲線の中で、面積が最大のものである。（'''等周問題'''）
[[画像:中心角と円周角.png|thumb|right|中心角と円周角]]
一方、円周は割線によって 2 つの部分に分けられる。このそれぞれの部分を '''円弧'''（{{lang-en-short|arc|links=no}}）または単に'''弧'''という。
:2つの弧の長さが等しくないとき、長い方の弧を '''優弧'''（{{lang-en-short|major arc|links=no}}）、短い方の弧を'''劣弧'''（{{lang-en-short|minor arc|links=no}}）という。
:2つの弧の長さが等しいとき、これらの弧を '''半円周''' という。このとき、割線は円の中心を通る中心線である。
円周上の2点 A, B を両端とする弧を弧 AB と呼ぶ。記号では、A͡B と表記する（記号 ⌒ は AB の上にかぶせて書くのが正しい）。これでは優弧・劣弧のどちらであるかを指定できていないデメリットがあり、一方を特定したい場合は、その弧上の点 P を用いて弧APB のように表記する。

円 O の周上に2点 A, B があるとき、半径 OA, OB と弧 AB とで囲まれた図形を'''扇形'''（{{lang-en-short|sector|links=no}}） O-A͡B という。また、扇形に含まれる側の ∠BOA を弧 AB を見込む'''中心角'''という。一つの円で考えるとき、中心角とその角が見込む弧の長さは[[比例]]する。同様に、中心角とその角が切り取る扇形の面積も比例する。

弦 AB と弧 AB で囲まれた図形を'''弓形'''（{{lang-en-short|segment|links=no}}）という。

=== 中心角と円周角 ===
弧 AB に対して、弧 AB 上にない円 O の周上の点 P を取るとき、∠APB を弧 AB に対する'''[[円周角]]'''という。弧 AB に対する円周角は点 P の位置に依らず一定であり、中心角 AOB の半分に等しい（'''円周角の定理'''）。特に弧 AB が半円周のときは、弧 AB に対する円周角は[[直角]]である（'''直径を見込む円周角''':[[ターレスの定理]]）。
[[画像:円に内接する四角形.png|thumb|left|円と内接四角形]]
円 O の周上に4点 A, B, C, D があるとき、[[四角形]] ABCD は円 O に'''内接する'''という（'''内接四角形'''）。このとき、円 O を四角形 ABCD の'''外接円'''という。四角形が円に内接するならば、四角形の対角の和は平角に等しい（'''内接四角形の定理'''）。円に内接する四角形の外角の大きさは、その'''内対角'''の大きさに等しい。また、これらの逆も成立する（[[四点共円定理]]、内接四角形の定理）。
{{-}}
[[画像:接弦定理.png|thumb|right|接弦定理]]
円周と直線が1つの共有点を持つとき、その直線を円の'''[[接線]]'''（{{lang-en-short|tangent|links=no}}）といい、共有点を'''接点'''という。円の中心と[[接点]]を結ぶ半径（'''接点半径'''）は、接線と接点で[[直交]]する。

円の外部の点 A から円 O に2つの接線が描ける。この接点を S, T とすると、線分 AS, AT の長さを'''接線の長さ'''という。接線の長さは等しい。円の接線とその接点を通る弦が作る角は、その角の中にある弧に対する円周角に等しい（'''[[接弦定理]]'''）。すなわち、下図で AT が接線ならば、∠BAT = ∠APB である。接弦定理は逆も成立する。

円の[[接吻数]]は6である。このことの{{要出典範囲|完全な証明は[[1910年]]までできなかった|date=2016年9月}}。
{{-}}

== 2円の位置関係 ==
[[File:Positional relationship of circles.png|thumb|right|位置関係]]
=== 位置関係 ===
2つの円（円 A, 円 B とする）の位置関係は次の場合に分けられる。
# 円 A が円 B の内部にある場合 : 円 B は円 A を'''内包する'''という。特に、中心の位置が一致するとき、この2円を'''同心円'''と呼ぶ。
# 円 A が円 B の周または内部にあり、1点のみを共有する場合 : 円 A は円 B に'''内接する'''という。
# 2円が異なる2点を共有する場合 : 2円は2点で'''交わる'''という。この2点を結ぶ弦を'''共通弦'''という。
# 2円が互いの周または外部にあり、1点のみを共有する場合 : 円 A は円 B に'''外接する'''という。
# 2円が互いの外部にあり、共有点がない場合 : 2円は'''離れている'''という。

=== 共通弦の性質 ===
[[File:共通弦を持つ二円とその共通弦の一端を含む別の円との共通弦の交点の性質.gif|thumb|直線ＸＹを共通弦とする正円をＡ・Ｂ、Ｘを包みＹを外にする正円をＣ、Ｙを包みＸを外にする正円をＤ、ＡＣの共通弦とＢＣの共通弦の交点をＥ、ＡＤの共通弦とＢＤの共通弦の交点をＦ、とした時、ＥとＦはＸＹの線上にある。]]
[[File:三角形の各辺を直径とする正円同士の共通弦が頂垂線となる図.gif|right|thumb|三角形の三辺の位置と長さそのものを[[直径]]とする三つの円によって生じる３本の共通弦は、その三角形の３本の[[頂垂線 (三角形)|頂垂線]]となる。]]
# 既定の共通弦を持つ2円(A・B)と、その共通弦の一端のみを包む任意の別の円Cとの間にできる2本の共通弦(ACとBCの共通弦)の交点は、ABの共通弦上に存在する。
# 三角形の三辺の位置と長さそのものを[[直径]]とする三つの円によって生じる３本の共通弦は、その三角形の３本の[[頂垂線 (三角形)|頂垂線]]となる。

=== 共通接線 ===
2つの円に共通する[[接線]]を'''共通接線'''という。

特に、2円が共通接線に関して、同じ側にあるとき'''共通外接線'''、異なる側にあるとき'''共通内接線'''という。

上記の場合分けにおいて、描ける共通接線の個数は、
# なし
# 共通外接線1本
# 共通外接線2本
# 共通内接線1本、共通外接線2本の計3本
# 共通内接線2本、共通外接線2本の計4本
のいずれか。

== 円の方程式 ==
[[Image:Circle center a b radius r.svg|thumb|right|半径 {{math|''r'' {{coloneqq}} 1}}, 中心 {{math|(''a'', ''b'') {{coloneqq}} (1.2, −0.5)}} の円]]
[[解析幾何学]]において、{{math|(''a'', ''b'')}} を中心とする半径 {{mvar|r}} の円は <math display="block"> (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2</math> を満たす点 {{math|(''x'', ''y'')}} 全体の[[軌跡 (数学)|軌跡]]である。この方程式を、'''円の方程式'''と言う。これは、中心 {{math|(''a'', ''b'')}} と円上の任意の点 {{math|(''x'', ''y'')}} との二点間の距離が {{mvar|r}} であるということを述べたものに他ならず、半径を斜辺とする直角三角形に[[ピタゴラスの定理]]を適用しすることで導出できる（直角を挟む二辺は、各座標の[[絶対差]] {{math|{{abs|''x − a''}}, {{abs|''y − b''}}}} を長さとする）。
* 中心を原点に取れば、方程式は <math display="inline">x^2 + y^2 = r^2</math> と簡単になる。

{{mvar|α, β, γ, δ}} は実数で {{math|''α'' ≠ 0}} なるものとし、<math display="block">a := \frac{-\beta}{\alpha}, \quad b := \frac{-\gamma}{\alpha}, \quad \rho := \frac{\beta^2 +\gamma^2 - \alpha\delta}{\alpha^2}</math> と書けば、上記の方程式は <math display="block">f(x,y) := \alpha(x^2 + y^2) + 2(\beta x + \gamma y) + \delta = 0</math> の形になる。この形（{{math|''x''{{exp|2}}, ''y''{{exp|2}}}} の係数が等しく、{{mvar|xy}} の項を持たない）の方程式が与えられたとき、以下の何れか一つのみが成り立つ:
* {{mvar|''ρ'' < 0}} のときは、この方程式に解となる実点は存在しない。この場合を'''虚円'''<ref>{{kotobank|虚円|精選版日本国語大辞典}}</ref> (''imaginary circle'') の方程式と呼ぶ。
* {{math|1=''ρ'' = 0}} のとき、方程式 {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = 0}} は中心となる一点 {{math|''O'' {{coloneqq}} (''a'', ''b'')}} のみを解とし、'''点円'''<ref>{{kotobank|点円|ブリタニカ国際大百科事典小項目事典}}</ref> (''point circle'') の方程式と言う。
* {{math|''ρ'' > 0}} のときには、{{math|1=''f''(''x'', ''y'') = 0}} は {{mvar|O}} を中心とする半径 {{math|''r'' {{coloneqq}} {{sqrt|''ρ''}}}} の円（あるいは'''実円''' (''real circle'')）の方程式になる。

{{math|1=''α'' = 0}} のとき {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = 0}} は直線の方程式であり、{{mvar|a, b, ρ}} は（射影平面上で、あるいは見かけ上）無限大になる。実は、直線を「[[無限遠点]]を中心とする半径無限大の円」と考えることができる（{{ill2|一般化された円|en|generalized circle}} の項を参照）。

=== 別の表示法 ===
; {{vanc|ベクトル表示}}: 中心の位置ベクトルを {{mathbf|c}} とし、円上の任意の点の位置ベクトルを {{mathbf|x}} とすると、これら二点間の距離は、ベクトルの[[ユークリッドノルム]] {{math|{{norm|•}} {{coloneqq}} {{norm|•}}{{sub|2}}}}: (''x'', ''y'') {{mapsto}} {{sqrt|''x''{{exp|2}} + ''y''{{exp|2}}}} を用いて、{{math|{{norm|'''x''' − '''c'''}}}} と書けるから、半径 {{mvar|r}} の円の方程式は <math display="block">\|\mathbf{x}-\mathbf{c}\| = r</math> となる。各点の成分表示が {{math|'''c''' {{coloneqq}} (''a'', ''b''), '''x''' {{coloneqq}} (''x'', ''y'')}} と与えられれば、<math display="inline">r^2 = \|\mathbf{x}-\mathbf{c}\|^2 = (x-a)^2+(y-b)^2</math> は上記の円の方程式である。
; {{vanc|媒介変数表示}}
: {{math|(''a'', ''b'')}} を中心とする半径 {{mvar|r}} の円の方程式を[[正弦函数]]および[[余弦函数]]を用いて <math display="block">\begin{cases}
x = a + r\cos(\theta)\\
y = b + r\sin(\theta)
\end{cases}\qquad (0 \leq \theta < 2\pi )</math> と媒介表示できる。幾何学的には、媒介変数 {{mvar|θ}} を {{math|(''a'', ''b'')}} から出る {{math|(''x'', ''y'')}} を通る[[半直線]]が、始線（{{mvar|x}}-軸の正の部分）に対してなす角の[[角度]]と解釈できる。
: 円の別の媒介表示が[[半角正接置換]]により、<math display="block">\begin{cases} x = a + r \frac{1-t^2}{1+t^2}\\ y = b + r \frac{2t}{1+t^2}\end{cases}</math> と与えられる。幾何学的には、この媒介変数 {{mvar|t}} の {{mvar|r}} に対する比を、中心を通り {{mvar|x}}-軸に平行な直線に関する[[立体射影]]として解釈できる。この媒介表示は、{{mvar|t}} が任意の実数のみならず無限遠点においても意味を持つが、その一方で円の最も下にある一点は表せないので除かなければならない。

=== その他の標準形 ===
; 三点標準形: [[共線|同一直線上]]にない三点を {{math|(''x{{sub|i}}'', ''y{{sub|i}}'')}} ({{math|1=''i'' = 1, 2, 3}}) とすると、その三点を通るという条件を満たす円は一つに決まり、その方程式を <math display="block">
\frac{({\color{green}x}-x_1)({\color{green}x}-x_2)+({\color{red}y}-y_1)({\color{red}y}-y_2)}
{({\color{red}y}-y_1)({\color{green}x}-x_2)-({\color{red}y}-y_2)({\color{green}x}-x_1)}
=\frac{(x_3-x_1)(x_3-x_2)+(y_3-y_1)(y_3-y_2)}
{(y_3-y_1)(x_3-x_2)-(y_3-y_2)(x_3-x_1)}
</math> という形に表すことができる。これは[[行列式]]を用いて <math display="block">\begin{vmatrix}
x^2 +y^2 &x &y &1\\
x_1^2+y_1^2 &x_1 &y_1 &1\\
x_2^2+y_2^2 &x_2 &y_2 &1\\
x_3^2+y_3^2 &x_3 &y_3 &1
\end{vmatrix} =0</math> と表すこともできる。

=== 射影平面 ===
[[射影平面]]上の円の方程式は、円上の任意の点の斉次座標を（[[埋め込み (数学)|埋め込み]] {{math|(''x'', ''y'') {{mapsto}} {{bracket|''x'' : ''y'' : 1}}}} のもとで） {{math|{{bracket|''x'' : ''y'' : ''z''}}}} と書くとき、その一般形を <math display="block">x^2+y^2-2axz-2byz+cz^2 = 0</math> と書くことができる。

=== 極座標系 ===
平面の座標系として、[[直交座標系]]の代わりに[[極座標系]]を用いれば、円の方程式の極座標表示が作れる。円上の任意の点の極座標を {{math|(''r'', ''θ'')}} とし、中心の極座標を {{math|(''r''{{sub|0}}, ''φ'')}}（つまり、中心の原点からの距離が {{math|''r''{{sub|0}}}} で、{{mvar|φ}} は原点から中心へ結んだ半直線が、{{mvar|x}}-軸の正の部分から反時計回りになす角）とするとき、半径 {{mvar|ρ}} の'''{{vanc|円の極方程式}}'''は <math display="block">r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \varphi) + r_0^2 = \rho^2</math> と書ける。
* 中心が原点にあるときには、方程式は {{math|1=''r'' = ''ρ''}} ({{mvar|θ}} は任意) という単純な形をしている（極座標系において原点は、動径成分が {{math|1=''r'' = 0}} かつ偏角成分 {{mvar|θ}} は任意と表されるのであった）。
* 原点が円上にあるとき、方程式は <math display="inline">r = 2 \rho\cos(\theta - \varphi)</math> と簡約される。例えば、半径 {{mvar|ρ}} が中心の動径成分 {{math|''r''{{sub|0}}}} に等しいときはそうである。
* 一般の場合の方程式を {{mvar|r}} について解くことができて、<math display="block">r = r_0 \cos(\theta - \phi) \pm \sqrt{\rho^2 - r_0^2 \sin^2(\theta - \varphi)}</math> となる。ここで {{math|±}} の符号を両方取らないと、半円しか記述できない場合があるので注意。

=== 複素数平面 ===
[[複素数平面]]を用いれば、平面上の円は複素数を用いても記述できる。中心が {{mvar|c}} で半径が {{mvar|r}} の円の方程式は、[[複素数の絶対値]]を用いて <math display="block">|z-c| = r</math> と書ける。これは本質的に[[#ベクトル表示|円のベクトル方程式]]と同じものである（複素数平面における複素数の加法および実数倍は、成分表示された平面ベクトルの加法および実数倍と同一であり、複素数の絶対値はユークリッドノルムと同一視できる）。[[極形式]]を考えれば、{{math|1={{abs|''z − c''}} = ''r''}} という条件は、{{math|1=''z − c'' = ''r''⋅[[指数函数|exp]](''iθ'')}} ({{math|θ}} は任意) と同値であることがわかる（これは上記の[[#媒介変数表示|媒介変数表示]]に対応する）。

複素数の積に関して {{math|1={{abs|''z''}}{{exp|2}} = ''z''⋅{{overline|''z''}}}} が成り立つことに注意すれば、この方程式は実数 {{mvar|p, q}} および複素数 {{mvar|g}} を用いて <math display="block">pz\overline{z} + gz + \overline{gz} = q</math> の形に書ける（<math>p := 1,\, g:=-\overline{c},\, q:=r^2-|c|^2</math>）。この形の方程式は、円だけでなく一般には{{ill2|一般化された円|en|generalised circle}}を表すものである（一般化された円とは、通常の円となるか、さもなくば[[直線]]である）。

[[#円の極方程式|極方程式]]も[[極形式]]を用いれば複素数で記述できる。

=== 接線の方程式 ===
円上の点 {{mvar|P}} における[[接線]]は、{{mvar|P}} を通る直径に垂直である。したがって、円の中心を {{math|(''a'', ''b'')}}, 半径を {{mvar|r}} とし、{{math|''P'' {{coloneqq}} (''x''{{sub|1}}, ''y''{{sub|1}})}} とすれば、垂直条件により接線の方程式は {{math|(''x''{{sub|1}} − ''a'')''x'' + (''y''{{sub|1}} – ''b'')''y'' {{=}} ''c''}} の形をしていなければならない。これが {{math|(''x''{{sub|1}}, ''y''{{sub|1}})}} を通るから {{mvar|c}} は決定できて、接線の方程式は <math display="block">(x_1-a)x+(y_1-b)y = (x_1-a)x_1+(y_1-b)y_1</math> または <math display="block">(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) = r^2</math> の形に書ける。{{math|''y''{{sub|1}} ≠ ''b''}} ならばこの接線の傾きは <math display="block">\frac{dy}{dx} = -\frac{x_1-a}{y_1-b}</math> であるが、これを[[陰函数微分法]]を用いて求めることもできる。

中心が原点にあるときは、接線の方程式は <math display="inline">x_1x+y_1y = r^2</math> となり、傾きは<math display="inline">\frac{dy}{dx} = -\frac{x_1}{y_1}</math> である。原点を中心とする円では、各点の位置ベクトル {{math|(''x'', ''y'')}} と接ベクトル {{math|(''dx'', ''dy'')}} が常に[[直交]]する（つまり、内積が零になる）から、<math display="bock"> x\mathit{dx} + y\mathit{dy} = 0</math> は微分形の円の方程式である。

== 円の幾何学 ==
[[三角形]]や円に関する事柄を扱う[[幾何学]]（相似や面積を用いない）は'''円論'''と呼ばれ、古来非常に深く研究されてきた。最も[[平面幾何学]]らしい幾何学とも呼ばれる。
=== [[九点円]]の定理 ===
三角形の
:それぞれの頂点から対辺に下ろした垂線の足（三つ）
:辺の中点（三つ）
:頂点と垂心を結んだ線分の中点（三つ）
は全て同一円上にある。この円のことを九点円と呼ぶ。

=== [[六点円]]の定理 ===
三角形のそれぞれの頂点から下ろした垂線の足から他の二辺に下ろした、合計 6 個の垂線の足は、同一円周上にある、という定理。中学で習う円の性質だけで証明することができるが、かなり難解。

=== [[ブレーズ・パスカル|パスカル]]の定理 ===
円に内接する六角形の対辺の延長線の交点は一直線上にある。更に拡張して、二次曲線上に異なる六つの点 ''P''1～''P''6 をとると、直線 ''P''1''P''2 と ''P''4''P''5 の交点 ''Q''1、''P''2''P''3 と ''P''5''P''6 の交点 ''Q''2、''P''3''P''4 と ''P''6''P''1 の交点 ''Q''3は同一直線上にある。また、''P''''i'' における接線と ''P''''j'' における接線の交点を ''R''''ij'' とすると、3 直線 ''R''12''R''45、''R''23''R''56、''R''34''R''61 は一点で交わる。一番初めの、円に内接する六角形の証明は、うまく補助円を書くことで、円の性質と三角形の相似だけですることができる。

=== フォイエルバッハの定理 ===
三角形の'''内接円'''は、九点円に内接する。


== 一般化 ==
=== 球面・超球面 ===
{{main|球面|超球面}}
3 次元ユークリッド空間においてある点からの距離が一定であるような点の集合を球面という。内部を含めた球面を[[球体|球]]という。一般に、''n'' を自然数とするとき、''n'' + 1 次元ユークリッド空間においてある点からの距離が一定であるような点の集合のことを、''n'' 次元球面といい、''S{{sup|n}}'' と書く。円は 1 次元球面である。

=== 円錐曲線 ===
{{main|円錐曲線|楕円|放物線|双曲線}}
2つの点（焦点と呼ばれる）からの距離の和が一定であるような点の軌跡を[[楕円]]という。楕円は一般に円を潰したような形をしており、楕円のうち特別な場合――2つの焦点が一点で一致する場合――が円である（このとき、焦点は「円の中心」と呼ばれる）。一般の楕円でなく円であることを特に明示したいときには、円のことを'''正円'''（せいえん）または'''真円'''（しんえん）と呼ぶことがある。

=== 距離円、ノルム円 ===
「定点からの距離が一定である点全体の成す集合」として円を定義するならば、定義に用いる「距離」の定義を変えれば異なる形状の「円」を考えることができるということになる。[[Lp空間#有限次元における p-ノルム|p-ノルム]]の誘導する距離は <math display="block"> \| x \|_p := (|x_1|^p + |x_2|^p + \dotsb + |x_n|^p)^{1/p}</math> で与えられる。ユークリッド幾何学における通常の[[ユークリッド距離]]: <math display="block">\| x\|_2 = \sqrt{ |x_1|^2 + |x_2|^2 + \dotsb + |x_n|^2 } </math> は {{math|1=''p'' = 2}} の場合である。

タクシー幾何学で用いる[[マンハッタン距離]]（{{math|''L''{{sup|1}}}}-距離）は {{math|1=''p'' = 1}} の場合であり、この距離に関する円（タクシー円）は各辺が座標軸から{{math|45°}}ずれた[[正方形]]となる。半径 {{mvar|r}} のタクシー円の各辺の長さは、ユークリッド距離で測れば {{math|{{sqrt|2}}''r''}} だが、タクシー距離で測れば {{math|2''r''}} である。よって、この幾何学で[[円周率]]（半径に対する周長の比）に相当するものは {{math|4}} ということになる。タクシー幾何学における単位円（半径が 1 の円）の方程式は、[[直交座標系]]では <math display="inline">|x| + |y| = 1</math>, [[極座標系]]では <math display="inline">r = \frac{1}{| \sin \theta| + |\cos\theta|}</math> と書ける。これは、その中心の{{ill2|フォンノイマン近傍|en|von Neumann neighborhood}}である。

平面上の[[チェビシェフ距離]]（[[ルベーグ空間|''L''{{sub|∞}}]]-距離）に対する半径 {{mvar|r}} の円もまた各辺の長さが {{math|2''r''}} の正方形（ただし、各辺は座標軸に平行）であるから、平面チェビシェフ距離は平面マンハッタン距離を回転およびスケール変換したものと看做せる。しかし {{math|''L''{{sup|1}}}} と {{mvar|''L''{{sup|∞}}}} の間に成り立つこの同値性は他の次元に一般化することはできない。

=== その他の円を特別の場合として含む曲線族 ===
円は他の様々な図形の極限の場合と見ることができる:
* デカルトの卵形線は[[焦点 (幾何学)|焦点]]と呼ばれるふたつの定点からの距離の重み付き和が一定となるような点全体の成す軌跡である。各距離に付ける重みが全て等しいとき[[楕円]]となり、[[離心率]]が {{math|0}} であるような楕円として円が得られる（これは二つの焦点が互いに重なる極限の場合であり、一致した焦点は得られる円の中心となる）。ふたつの重みのうちの一方を {{math|0}} として得られるデカルトの卵形線としても、円が得られる。
* [[スーパー楕円|超楕円]]は、適当な正数 {{mvar|a, b > 0}} と自然数 {{mvar|n}} に対する <math display="inline">\left|\frac{x}{a}\right|^n + \left|\frac{y}{b}\right|^n = 1</math> の形の方程式を持つ。{{math|''b'' {{=}} ''a''}} のとき超円と言う。円は {{math|''n'' {{=}} 2}} となる特別な超円である。
* [[カッシーニの卵形線]]は二つの定点からの距離の積が一定となるような点全体の軌跡を言う。ふたつの定点が一致するとき、円が得られる。
* [[定幅曲線]]は、その幅—図形の幅は、それを挟む二つの平行線が、各々その図形の境界と一点のみを共有するときの、それら平行線間の距離として定める—が平行線の方向のとり方に依らず一定であるような図形を言う。円はもっとも単純な定幅曲線形の例である。

== 拡幅円弧の長さ ==
半径 ''R'' の円弧上の始点で幅 ''w''{{sub|1}}、終点で幅 ''w''{{sub|2}} の拡幅円弧の長さの計算
* <math>L=R\theta</math>
* <math>k=\frac{w_2 -w_1}{L}</math>
とすると、
:<math>dL=(R+w_1 +kR\theta )d\theta</math>
:<math>\begin{array}{rcl}
Lw &= &\displaystyle (R+w_1 )\theta +\frac{1}{2} kR\theta^2 \\
&= &\displaystyle L\left\{1+\frac{w_1}{R} +\frac{kL}{2R} \right\} \\
&= &\displaystyle L\left\{1+\frac{1}{R} ( w_1 +\frac{1}{2}kL)\right\} \\
&= &\displaystyle L\left\{1+\frac{1}{R} \left( w_1 +\frac{1}{2} (w_2 -w_1 )\right) \right\} \\
&= &\displaystyle L\left\{1+\frac{1}{R} \frac{w_1 + w_2}{2} \right\} \\
&= &\displaystyle \left( R+\frac{w_1 +w_2}{2} \right) \theta
\end{array}</math>
ゆえに、拡幅円の長さは、平均半径に中心角をかけたものとなる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}

=== 出典 ===
{{Reflist}}

==関連項目==
{{commons|Circle geometry|Circle geometry}}
* [[単位円]]
* [[楕円]]
* [[球]]
* [[球面]]
* [[アルハゼンの定理]]
* [[円周率]]
* [[⌒]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=Circle|title=Circle}}
* {{nlab|urlname=circle|title=circle}}
* {{PlanetMath|urlname=circle|title=circle}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Circle|title=Definition:Circle}}
* Ivanov, A.B. (2001) [1994], “Circle”, [https://en.wikipedia.org/wiki/Encyclopedia_of_Mathematics Encyclopedia of Mathematics], EMS Press

{{Link FA|mk}}
{{DEFAULTSORT:えん}}
[[Category:円 (数学)|*]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:幾何学]]
[[Category:角度]]
[[Category:数学に関する記事]]
{{Wikipedia/Ja}}

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{{{2|{{{encyclopedia|}}}}}}『[https://kotobank.jp/{{ifempty|{{{dictype|}}}|word}}/{{urlencode:{{ifempty|{{{1|}}}|{{{word|}}}|{{PAGENAMEBASE}}}}|PATH}} {{ifempty|{{{3|}}}|{{{title|}}}|{{{1|}}}|{{{word|}}}|{{PAGENAMEBASE}}}}]』 - [[コトバンク]]

円 (数学)

2025-11-30T13:35:50Z

PG: /* 関連項目 */

[[ファイル:Circle-withsegments.svg|thumb|円]]
[[数学]]において、'''円'''（えん、{{lang-en-short|circle}}）とは、[[平面]]（2次元[[ユークリッド空間]]）上の、定点O（オー）からの距離が等しい[[点 (数学)|点]]の集合でできる[[曲線]]のことをいう。

その「定点O」を円の'''中心'''という。円の中心と円周上の1点を結ぶ[[線分]]や、その線分の長さは'''半径'''という<ref>デジタル大辞泉【半径】[https://kotobank.jp/word/%E5%8D%8A%E5%BE%84-606289]</ref><ref>精選版日本国語大辞典【半径】[https://kotobank.jp/word/%E5%8D%8A%E5%BE%84-606289]</ref>。

円は[[定幅図形]]の一つ。

なお円が囲む部分すなわち「円の内部」を含めて「円」ということもある。この場合、厳密さを必要とする時は、境界となる曲線のほうは「[[円周]]」（{{lang-en-short|circumference|links=no}}）という。これに対して、内部を含めていることを強調するときには「[[円板]]」（{{lang-en-short|disk|links=no}}）という。また、三角形、四角形などと呼称を統一して「円形」ということもある。

習慣的に、とりあえず円をひとつ挙げその中心に名称をつける時は「O」（オー）と呼ぶことが多い。これは[[原点 (数学)|原点]]を英語で「オリジン」（{{Lang-en-short|Origin|links=no}}）というのでその[[頭文字]]をとったものである。中心が点Oである円は「円O」（えんオー）と呼ぶ。なお中心は英語では「センター」（{{Lang-en-short|Center|links=no}}）というので、円の中心が「C」（シー）になっている文献もある<ref>[https://www.kyo-kai.co.jp/img/support/motto/motto24.pdf もっと数学の世界、「原点はオー！」]</ref>。

なお、数学以外の分野ではこの曲線のことを（あるいはそれに近い[[オーバル|卵形]]の総称として）「'''丸'''」（まる）という俗称で呼称することがある。
[[画像:円.png|thumb|right|円: 中心、半径・直径、円周]]
== 円の性質 ==
=== 弦と弧 ===
円周と2点で交わる直線を'''[[割線]]'''という。このときの交点を2点 A, B とするとき、円周によって、割線から切り取られる線分 AB のことを'''弦'''といい、弦 AB と呼ぶ。特に円の中心を通る割線を'''中心線'''という。中心線は円の対称軸であり、[[円の面積]]を2等分する。円周が中心線から切り取る弦やその長さを、円の'''直径'''という。直径は半径の2倍に等しい。円周の長さは、円の大きさによってさまざまであるが、円周の長さの直径に対する比の値は、円に依らず一定であり、これを'''[[円周率]]'''という。特に断りのない限り、普通、円周率は [[π|{{π}}]] で表す。円の半径を ''r''(半径の英語 radiusの頭文字が由来) とすると、円周の長さは 2{{π}}''r'' で表される。また、[[円の面積]]は、{{π}}''r'' {{sup|2}} で表すことができる。同じ長さの周を持つ閉曲線の中で、面積が最大のものである。（'''等周問題'''）
[[画像:中心角と円周角.png|thumb|right|中心角と円周角]]
一方、円周は割線によって 2 つの部分に分けられる。このそれぞれの部分を '''円弧'''（{{lang-en-short|arc|links=no}}）または単に'''弧'''という。
:2つの弧の長さが等しくないとき、長い方の弧を '''優弧'''（{{lang-en-short|major arc|links=no}}）、短い方の弧を'''劣弧'''（{{lang-en-short|minor arc|links=no}}）という。
:2つの弧の長さが等しいとき、これらの弧を '''半円周''' という。このとき、割線は円の中心を通る中心線である。
円周上の2点 A, B を両端とする弧を弧 AB と呼ぶ。記号では、A͡B と表記する（記号 ⌒ は AB の上にかぶせて書くのが正しい）。これでは優弧・劣弧のどちらであるかを指定できていないデメリットがあり、一方を特定したい場合は、その弧上の点 P を用いて弧APB のように表記する。

円 O の周上に2点 A, B があるとき、半径 OA, OB と弧 AB とで囲まれた図形を'''扇形'''（{{lang-en-short|sector|links=no}}） O-A͡B という。また、扇形に含まれる側の ∠BOA を弧 AB を見込む'''中心角'''という。一つの円で考えるとき、中心角とその角が見込む弧の長さは[[比例]]する。同様に、中心角とその角が切り取る扇形の面積も比例する。

弦 AB と弧 AB で囲まれた図形を'''弓形'''（{{lang-en-short|segment|links=no}}）という。

=== 中心角と円周角 ===
弧 AB に対して、弧 AB 上にない円 O の周上の点 P を取るとき、∠APB を弧 AB に対する'''[[円周角]]'''という。弧 AB に対する円周角は点 P の位置に依らず一定であり、中心角 AOB の半分に等しい（'''円周角の定理'''）。特に弧 AB が半円周のときは、弧 AB に対する円周角は[[直角]]である（'''直径を見込む円周角''':[[ターレスの定理]]）。
[[画像:円に内接する四角形.png|thumb|left|円と内接四角形]]
円 O の周上に4点 A, B, C, D があるとき、[[四角形]] ABCD は円 O に'''内接する'''という（'''内接四角形'''）。このとき、円 O を四角形 ABCD の'''外接円'''という。四角形が円に内接するならば、四角形の対角の和は平角に等しい（'''内接四角形の定理'''）。円に内接する四角形の外角の大きさは、その'''内対角'''の大きさに等しい。また、これらの逆も成立する（[[四点共円定理]]、内接四角形の定理）。
{{-}}
[[画像:接弦定理.png|thumb|right|接弦定理]]
円周と直線が1つの共有点を持つとき、その直線を円の'''[[接線]]'''（{{lang-en-short|tangent|links=no}}）といい、共有点を'''接点'''という。円の中心と[[接点]]を結ぶ半径（'''接点半径'''）は、接線と接点で[[直交]]する。

円の外部の点 A から円 O に2つの接線が描ける。この接点を S, T とすると、線分 AS, AT の長さを'''接線の長さ'''という。接線の長さは等しい。円の接線とその接点を通る弦が作る角は、その角の中にある弧に対する円周角に等しい（'''[[接弦定理]]'''）。すなわち、下図で AT が接線ならば、∠BAT = ∠APB である。接弦定理は逆も成立する。

円の[[接吻数]]は6である。このことの{{要出典範囲|完全な証明は[[1910年]]までできなかった|date=2016年9月}}。
{{-}}

== 2円の位置関係 ==
[[File:Positional relationship of circles.png|thumb|right|位置関係]]
=== 位置関係 ===
2つの円（円 A, 円 B とする）の位置関係は次の場合に分けられる。
# 円 A が円 B の内部にある場合 : 円 B は円 A を'''内包する'''という。特に、中心の位置が一致するとき、この2円を'''同心円'''と呼ぶ。
# 円 A が円 B の周または内部にあり、1点のみを共有する場合 : 円 A は円 B に'''内接する'''という。
# 2円が異なる2点を共有する場合 : 2円は2点で'''交わる'''という。この2点を結ぶ弦を'''共通弦'''という。
# 2円が互いの周または外部にあり、1点のみを共有する場合 : 円 A は円 B に'''外接する'''という。
# 2円が互いの外部にあり、共有点がない場合 : 2円は'''離れている'''という。

=== 共通弦の性質 ===
[[File:共通弦を持つ二円とその共通弦の一端を含む別の円との共通弦の交点の性質.gif|thumb|直線ＸＹを共通弦とする正円をＡ・Ｂ、Ｘを包みＹを外にする正円をＣ、Ｙを包みＸを外にする正円をＤ、ＡＣの共通弦とＢＣの共通弦の交点をＥ、ＡＤの共通弦とＢＤの共通弦の交点をＦ、とした時、ＥとＦはＸＹの線上にある。]]
[[File:三角形の各辺を直径とする正円同士の共通弦が頂垂線となる図.gif|right|thumb|三角形の三辺の位置と長さそのものを[[直径]]とする三つの円によって生じる３本の共通弦は、その三角形の３本の[[頂垂線 (三角形)|頂垂線]]となる。]]
# 既定の共通弦を持つ2円(A・B)と、その共通弦の一端のみを包む任意の別の円Cとの間にできる2本の共通弦(ACとBCの共通弦)の交点は、ABの共通弦上に存在する。
# 三角形の三辺の位置と長さそのものを[[直径]]とする三つの円によって生じる３本の共通弦は、その三角形の３本の[[頂垂線 (三角形)|頂垂線]]となる。

=== 共通接線 ===
2つの円に共通する[[接線]]を'''共通接線'''という。

特に、2円が共通接線に関して、同じ側にあるとき'''共通外接線'''、異なる側にあるとき'''共通内接線'''という。

上記の場合分けにおいて、描ける共通接線の個数は、
# なし
# 共通外接線1本
# 共通外接線2本
# 共通内接線1本、共通外接線2本の計3本
# 共通内接線2本、共通外接線2本の計4本
のいずれか。

== 円の方程式 ==
[[Image:Circle center a b radius r.svg|thumb|right|半径 {{math|''r'' {{coloneqq}} 1}}, 中心 {{math|(''a'', ''b'') {{coloneqq}} (1.2, −0.5)}} の円]]
[[解析幾何学]]において、{{math|(''a'', ''b'')}} を中心とする半径 {{mvar|r}} の円は <math display="block"> (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2</math> を満たす点 {{math|(''x'', ''y'')}} 全体の[[軌跡 (数学)|軌跡]]である。この方程式を、'''円の方程式'''と言う。これは、中心 {{math|(''a'', ''b'')}} と円上の任意の点 {{math|(''x'', ''y'')}} との二点間の距離が {{mvar|r}} であるということを述べたものに他ならず、半径を斜辺とする直角三角形に[[ピタゴラスの定理]]を適用しすることで導出できる（直角を挟む二辺は、各座標の[[絶対差]] {{math|{{abs|''x − a''}}, {{abs|''y − b''}}}} を長さとする）。
* 中心を原点に取れば、方程式は <math display="inline">x^2 + y^2 = r^2</math> と簡単になる。

{{mvar|α, β, γ, δ}} は実数で {{math|''α'' ≠ 0}} なるものとし、<math display="block">a := \frac{-\beta}{\alpha}, \quad b := \frac{-\gamma}{\alpha}, \quad \rho := \frac{\beta^2 +\gamma^2 - \alpha\delta}{\alpha^2}</math> と書けば、上記の方程式は <math display="block">f(x,y) := \alpha(x^2 + y^2) + 2(\beta x + \gamma y) + \delta = 0</math> の形になる。この形（{{math|''x''{{exp|2}}, ''y''{{exp|2}}}} の係数が等しく、{{mvar|xy}} の項を持たない）の方程式が与えられたとき、以下の何れか一つのみが成り立つ:
* {{mvar|''ρ'' < 0}} のときは、この方程式に解となる実点は存在しない。この場合を'''虚円'''<ref>{{kotobank|虚円|精選版日本国語大辞典}}</ref> (''imaginary circle'') の方程式と呼ぶ。
* {{math|1=''ρ'' = 0}} のとき、方程式 {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = 0}} は中心となる一点 {{math|''O'' {{coloneqq}} (''a'', ''b'')}} のみを解とし、'''点円'''<ref>{{kotobank|点円|ブリタニカ国際大百科事典小項目事典}}</ref> (''point circle'') の方程式と言う。
* {{math|''ρ'' > 0}} のときには、{{math|1=''f''(''x'', ''y'') = 0}} は {{mvar|O}} を中心とする半径 {{math|''r'' {{coloneqq}} {{sqrt|''ρ''}}}} の円（あるいは'''実円''' (''real circle'')）の方程式になる。

{{math|1=''α'' = 0}} のとき {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = 0}} は直線の方程式であり、{{mvar|a, b, ρ}} は（射影平面上で、あるいは見かけ上）無限大になる。実は、直線を「[[無限遠点]]を中心とする半径無限大の円」と考えることができる（{{ill2|一般化された円|en|generalized circle}} の項を参照）。

=== 別の表示法 ===
; {{vanc|ベクトル表示}}: 中心の位置ベクトルを {{mathbf|c}} とし、円上の任意の点の位置ベクトルを {{mathbf|x}} とすると、これら二点間の距離は、ベクトルの[[ユークリッドノルム]] {{math|{{norm|•}} {{coloneqq}} {{norm|•}}{{sub|2}}}}: (''x'', ''y'') {{mapsto}} {{sqrt|''x''{{exp|2}} + ''y''{{exp|2}}}} を用いて、{{math|{{norm|'''x''' − '''c'''}}}} と書けるから、半径 {{mvar|r}} の円の方程式は <math display="block">\|\mathbf{x}-\mathbf{c}\| = r</math> となる。各点の成分表示が {{math|'''c''' {{coloneqq}} (''a'', ''b''), '''x''' {{coloneqq}} (''x'', ''y'')}} と与えられれば、<math display="inline">r^2 = \|\mathbf{x}-\mathbf{c}\|^2 = (x-a)^2+(y-b)^2</math> は上記の円の方程式である。
; {{vanc|媒介変数表示}}
: {{math|(''a'', ''b'')}} を中心とする半径 {{mvar|r}} の円の方程式を[[正弦函数]]および[[余弦函数]]を用いて <math display="block">\begin{cases}
x = a + r\cos(\theta)\\
y = b + r\sin(\theta)
\end{cases}\qquad (0 \leq \theta < 2\pi )</math> と媒介表示できる。幾何学的には、媒介変数 {{mvar|θ}} を {{math|(''a'', ''b'')}} から出る {{math|(''x'', ''y'')}} を通る[[半直線]]が、始線（{{mvar|x}}-軸の正の部分）に対してなす角の[[角度]]と解釈できる。
: 円の別の媒介表示が[[半角正接置換]]により、<math display="block">\begin{cases} x = a + r \frac{1-t^2}{1+t^2}\\ y = b + r \frac{2t}{1+t^2}\end{cases}</math> と与えられる。幾何学的には、この媒介変数 {{mvar|t}} の {{mvar|r}} に対する比を、中心を通り {{mvar|x}}-軸に平行な直線に関する[[立体射影]]として解釈できる。この媒介表示は、{{mvar|t}} が任意の実数のみならず無限遠点においても意味を持つが、その一方で円の最も下にある一点は表せないので除かなければならない。

=== その他の標準形 ===
; 三点標準形: [[共線|同一直線上]]にない三点を {{math|(''x{{sub|i}}'', ''y{{sub|i}}'')}} ({{math|1=''i'' = 1, 2, 3}}) とすると、その三点を通るという条件を満たす円は一つに決まり、その方程式を <math display="block">
\frac{({\color{green}x}-x_1)({\color{green}x}-x_2)+({\color{red}y}-y_1)({\color{red}y}-y_2)}
{({\color{red}y}-y_1)({\color{green}x}-x_2)-({\color{red}y}-y_2)({\color{green}x}-x_1)}
=\frac{(x_3-x_1)(x_3-x_2)+(y_3-y_1)(y_3-y_2)}
{(y_3-y_1)(x_3-x_2)-(y_3-y_2)(x_3-x_1)}
</math> という形に表すことができる。これは[[行列式]]を用いて <math display="block">\begin{vmatrix}
x^2 +y^2 &x &y &1\\
x_1^2+y_1^2 &x_1 &y_1 &1\\
x_2^2+y_2^2 &x_2 &y_2 &1\\
x_3^2+y_3^2 &x_3 &y_3 &1
\end{vmatrix} =0</math> と表すこともできる。

=== 射影平面 ===
[[射影平面]]上の円の方程式は、円上の任意の点の斉次座標を（[[埋め込み (数学)|埋め込み]] {{math|(''x'', ''y'') {{mapsto}} {{bracket|''x'' : ''y'' : 1}}}} のもとで） {{math|{{bracket|''x'' : ''y'' : ''z''}}}} と書くとき、その一般形を <math display="block">x^2+y^2-2axz-2byz+cz^2 = 0</math> と書くことができる。

=== 極座標系 ===
平面の座標系として、[[直交座標系]]の代わりに[[極座標系]]を用いれば、円の方程式の極座標表示が作れる。円上の任意の点の極座標を {{math|(''r'', ''θ'')}} とし、中心の極座標を {{math|(''r''{{sub|0}}, ''φ'')}}（つまり、中心の原点からの距離が {{math|''r''{{sub|0}}}} で、{{mvar|φ}} は原点から中心へ結んだ半直線が、{{mvar|x}}-軸の正の部分から反時計回りになす角）とするとき、半径 {{mvar|ρ}} の'''{{vanc|円の極方程式}}'''は <math display="block">r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \varphi) + r_0^2 = \rho^2</math> と書ける。
* 中心が原点にあるときには、方程式は {{math|1=''r'' = ''ρ''}} ({{mvar|θ}} は任意) という単純な形をしている（極座標系において原点は、動径成分が {{math|1=''r'' = 0}} かつ偏角成分 {{mvar|θ}} は任意と表されるのであった）。
* 原点が円上にあるとき、方程式は <math display="inline">r = 2 \rho\cos(\theta - \varphi)</math> と簡約される。例えば、半径 {{mvar|ρ}} が中心の動径成分 {{math|''r''{{sub|0}}}} に等しいときはそうである。
* 一般の場合の方程式を {{mvar|r}} について解くことができて、<math display="block">r = r_0 \cos(\theta - \phi) \pm \sqrt{\rho^2 - r_0^2 \sin^2(\theta - \varphi)}</math> となる。ここで {{math|±}} の符号を両方取らないと、半円しか記述できない場合があるので注意。

=== 複素数平面 ===
[[複素数平面]]を用いれば、平面上の円は複素数を用いても記述できる。中心が {{mvar|c}} で半径が {{mvar|r}} の円の方程式は、[[複素数の絶対値]]を用いて <math display="block">|z-c| = r</math> と書ける。これは本質的に[[#ベクトル表示|円のベクトル方程式]]と同じものである（複素数平面における複素数の加法および実数倍は、成分表示された平面ベクトルの加法および実数倍と同一であり、複素数の絶対値はユークリッドノルムと同一視できる）。[[極形式]]を考えれば、{{math|1={{abs|''z − c''}} = ''r''}} という条件は、{{math|1=''z − c'' = ''r''⋅[[指数函数|exp]](''iθ'')}} ({{math|θ}} は任意) と同値であることがわかる（これは上記の[[#媒介変数表示|媒介変数表示]]に対応する）。

複素数の積に関して {{math|1={{abs|''z''}}{{exp|2}} = ''z''⋅{{overline|''z''}}}} が成り立つことに注意すれば、この方程式は実数 {{mvar|p, q}} および複素数 {{mvar|g}} を用いて <math display="block">pz\overline{z} + gz + \overline{gz} = q</math> の形に書ける（<math>p := 1,\, g:=-\overline{c},\, q:=r^2-|c|^2</math>）。この形の方程式は、円だけでなく一般には{{ill2|一般化された円|en|generalised circle}}を表すものである（一般化された円とは、通常の円となるか、さもなくば[[直線]]である）。

[[#円の極方程式|極方程式]]も[[極形式]]を用いれば複素数で記述できる。

=== 接線の方程式 ===
円上の点 {{mvar|P}} における[[接線]]は、{{mvar|P}} を通る直径に垂直である。したがって、円の中心を {{math|(''a'', ''b'')}}, 半径を {{mvar|r}} とし、{{math|''P'' {{coloneqq}} (''x''{{sub|1}}, ''y''{{sub|1}})}} とすれば、垂直条件により接線の方程式は {{math|(''x''{{sub|1}} − ''a'')''x'' + (''y''{{sub|1}} – ''b'')''y'' {{=}} ''c''}} の形をしていなければならない。これが {{math|(''x''{{sub|1}}, ''y''{{sub|1}})}} を通るから {{mvar|c}} は決定できて、接線の方程式は <math display="block">(x_1-a)x+(y_1-b)y = (x_1-a)x_1+(y_1-b)y_1</math> または <math display="block">(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) = r^2</math> の形に書ける。{{math|''y''{{sub|1}} ≠ ''b''}} ならばこの接線の傾きは <math display="block">\frac{dy}{dx} = -\frac{x_1-a}{y_1-b}</math> であるが、これを[[陰函数微分法]]を用いて求めることもできる。

中心が原点にあるときは、接線の方程式は <math display="inline">x_1x+y_1y = r^2</math> となり、傾きは<math display="inline">\frac{dy}{dx} = -\frac{x_1}{y_1}</math> である。原点を中心とする円では、各点の位置ベクトル {{math|(''x'', ''y'')}} と接ベクトル {{math|(''dx'', ''dy'')}} が常に[[直交]]する（つまり、内積が零になる）から、<math display="bock"> x\mathit{dx} + y\mathit{dy} = 0</math> は微分形の円の方程式である。

== 円の幾何学 ==
[[三角形]]や円に関する事柄を扱う[[幾何学]]（相似や面積を用いない）は'''円論'''と呼ばれ、古来非常に深く研究されてきた。最も[[平面幾何学]]らしい幾何学とも呼ばれる。
=== [[九点円]]の定理 ===
三角形の
:それぞれの頂点から対辺に下ろした垂線の足（三つ）
:辺の中点（三つ）
:頂点と垂心を結んだ線分の中点（三つ）
は全て同一円上にある。この円のことを九点円と呼ぶ。

=== [[六点円]]の定理 ===
三角形のそれぞれの頂点から下ろした垂線の足から他の二辺に下ろした、合計 6 個の垂線の足は、同一円周上にある、という定理。中学で習う円の性質だけで証明することができるが、かなり難解。

=== [[ブレーズ・パスカル|パスカル]]の定理 ===
円に内接する六角形の対辺の延長線の交点は一直線上にある。更に拡張して、二次曲線上に異なる六つの点 ''P''1～''P''6 をとると、直線 ''P''1''P''2 と ''P''4''P''5 の交点 ''Q''1、''P''2''P''3 と ''P''5''P''6 の交点 ''Q''2、''P''3''P''4 と ''P''6''P''1 の交点 ''Q''3は同一直線上にある。また、''P''''i'' における接線と ''P''''j'' における接線の交点を ''R''''ij'' とすると、3 直線 ''R''12''R''45、''R''23''R''56、''R''34''R''61 は一点で交わる。一番初めの、円に内接する六角形の証明は、うまく補助円を書くことで、円の性質と三角形の相似だけですることができる。

=== フォイエルバッハの定理 ===
三角形の'''内接円'''は、九点円に内接する。


== 一般化 ==
=== 球面・超球面 ===
{{main|球面|超球面}}
3 次元ユークリッド空間においてある点からの距離が一定であるような点の集合を球面という。内部を含めた球面を[[球体|球]]という。一般に、''n'' を自然数とするとき、''n'' + 1 次元ユークリッド空間においてある点からの距離が一定であるような点の集合のことを、''n'' 次元球面といい、''S{{sup|n}}'' と書く。円は 1 次元球面である。

=== 円錐曲線 ===
{{main|円錐曲線|楕円|放物線|双曲線}}
2つの点（焦点と呼ばれる）からの距離の和が一定であるような点の軌跡を[[楕円]]という。楕円は一般に円を潰したような形をしており、楕円のうち特別な場合――2つの焦点が一点で一致する場合――が円である（このとき、焦点は「円の中心」と呼ばれる）。一般の楕円でなく円であることを特に明示したいときには、円のことを'''正円'''（せいえん）または'''真円'''（しんえん）と呼ぶことがある。

=== 距離円、ノルム円 ===
「定点からの距離が一定である点全体の成す集合」として円を定義するならば、定義に用いる「距離」の定義を変えれば異なる形状の「円」を考えることができるということになる。[[Lp空間#有限次元における p-ノルム|p-ノルム]]の誘導する距離は <math display="block"> \| x \|_p := (|x_1|^p + |x_2|^p + \dotsb + |x_n|^p)^{1/p}</math> で与えられる。ユークリッド幾何学における通常の[[ユークリッド距離]]: <math display="block">\| x\|_2 = \sqrt{ |x_1|^2 + |x_2|^2 + \dotsb + |x_n|^2 } </math> は {{math|1=''p'' = 2}} の場合である。

タクシー幾何学で用いる[[マンハッタン距離]]（{{math|''L''{{sup|1}}}}-距離）は {{math|1=''p'' = 1}} の場合であり、この距離に関する円（タクシー円）は各辺が座標軸から{{math|45°}}ずれた[[正方形]]となる。半径 {{mvar|r}} のタクシー円の各辺の長さは、ユークリッド距離で測れば {{math|{{sqrt|2}}''r''}} だが、タクシー距離で測れば {{math|2''r''}} である。よって、この幾何学で[[円周率]]（半径に対する周長の比）に相当するものは {{math|4}} ということになる。タクシー幾何学における単位円（半径が 1 の円）の方程式は、[[直交座標系]]では <math display="inline">|x| + |y| = 1</math>, [[極座標系]]では <math display="inline">r = \frac{1}{| \sin \theta| + |\cos\theta|}</math> と書ける。これは、その中心の{{ill2|フォンノイマン近傍|en|von Neumann neighborhood}}である。

平面上の[[チェビシェフ距離]]（[[ルベーグ空間|''L''{{sub|∞}}]]-距離）に対する半径 {{mvar|r}} の円もまた各辺の長さが {{math|2''r''}} の正方形（ただし、各辺は座標軸に平行）であるから、平面チェビシェフ距離は平面マンハッタン距離を回転およびスケール変換したものと看做せる。しかし {{math|''L''{{sup|1}}}} と {{mvar|''L''{{sup|∞}}}} の間に成り立つこの同値性は他の次元に一般化することはできない。

=== その他の円を特別の場合として含む曲線族 ===
円は他の様々な図形の極限の場合と見ることができる:
* デカルトの卵形線は[[焦点 (幾何学)|焦点]]と呼ばれるふたつの定点からの距離の重み付き和が一定となるような点全体の成す軌跡である。各距離に付ける重みが全て等しいとき[[楕円]]となり、[[離心率]]が {{math|0}} であるような楕円として円が得られる（これは二つの焦点が互いに重なる極限の場合であり、一致した焦点は得られる円の中心となる）。ふたつの重みのうちの一方を {{math|0}} として得られるデカルトの卵形線としても、円が得られる。
* [[スーパー楕円|超楕円]]は、適当な正数 {{mvar|a, b > 0}} と自然数 {{mvar|n}} に対する <math display="inline">\left|\frac{x}{a}\right|^n + \left|\frac{y}{b}\right|^n = 1</math> の形の方程式を持つ。{{math|''b'' {{=}} ''a''}} のとき超円と言う。円は {{math|''n'' {{=}} 2}} となる特別な超円である。
* [[カッシーニの卵形線]]は二つの定点からの距離の積が一定となるような点全体の軌跡を言う。ふたつの定点が一致するとき、円が得られる。
* [[定幅曲線]]は、その幅—図形の幅は、それを挟む二つの平行線が、各々その図形の境界と一点のみを共有するときの、それら平行線間の距離として定める—が平行線の方向のとり方に依らず一定であるような図形を言う。円はもっとも単純な定幅曲線形の例である。

== 拡幅円弧の長さ ==
半径 ''R'' の円弧上の始点で幅 ''w''{{sub|1}}、終点で幅 ''w''{{sub|2}} の拡幅円弧の長さの計算
* <math>L=R\theta</math>
* <math>k=\frac{w_2 -w_1}{L}</math>
とすると、
:<math>dL=(R+w_1 +kR\theta )d\theta</math>
:<math>\begin{array}{rcl}
Lw &= &\displaystyle (R+w_1 )\theta +\frac{1}{2} kR\theta^2 \\
&= &\displaystyle L\left\{1+\frac{w_1}{R} +\frac{kL}{2R} \right\} \\
&= &\displaystyle L\left\{1+\frac{1}{R} ( w_1 +\frac{1}{2}kL)\right\} \\
&= &\displaystyle L\left\{1+\frac{1}{R} \left( w_1 +\frac{1}{2} (w_2 -w_1 )\right) \right\} \\
&= &\displaystyle L\left\{1+\frac{1}{R} \frac{w_1 + w_2}{2} \right\} \\
&= &\displaystyle \left( R+\frac{w_1 +w_2}{2} \right) \theta
\end{array}</math>
ゆえに、拡幅円の長さは、平均半径に中心角をかけたものとなる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}

=== 出典 ===
{{Reflist}}

==関連項目==
{{commons|Circle geometry|Circle geometry}}
* [[単位円]]
* [[楕円]]
* [[球]]
* [[球面]]
* [[アルハゼンの定理]]
* [[円周率]]
* [[⌒]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=Circle|title=Circle}}
* {{nlab|urlname=circle|title=circle}}
* {{PlanetMath|urlname=circle|title=circle}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Circle|title=Definition:Circle}}
* {{SpringerEOM|urlname=Circle|title=Circle|first=A.B.|last=Ivanov}}

{{Link FA|mk}}
{{DEFAULTSORT:えん}}
[[Category:円 (数学)|*]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:幾何学]]
[[Category:角度]]
[[Category:数学に関する記事]]
{{Wikipedia/Ja}}

円 (数学)

2025-11-30T13:32:57Z

PG:

[[ファイル:Circle-withsegments.svg|thumb|円]]
[[数学]]において、'''円'''（えん、{{lang-en-short|circle}}）とは、[[平面]]（2次元[[ユークリッド空間]]）上の、定点O（オー）からの距離が等しい[[点 (数学)|点]]の集合でできる[[曲線]]のことをいう。

その「定点O」を円の'''中心'''という。円の中心と円周上の1点を結ぶ[[線分]]や、その線分の長さは'''半径'''という<ref>デジタル大辞泉【半径】[https://kotobank.jp/word/%E5%8D%8A%E5%BE%84-606289]</ref><ref>精選版日本国語大辞典【半径】[https://kotobank.jp/word/%E5%8D%8A%E5%BE%84-606289]</ref>。

円は[[定幅図形]]の一つ。

なお円が囲む部分すなわち「円の内部」を含めて「円」ということもある。この場合、厳密さを必要とする時は、境界となる曲線のほうは「[[円周]]」（{{lang-en-short|circumference|links=no}}）という。これに対して、内部を含めていることを強調するときには「[[円板]]」（{{lang-en-short|disk|links=no}}）という。また、三角形、四角形などと呼称を統一して「円形」ということもある。

習慣的に、とりあえず円をひとつ挙げその中心に名称をつける時は「O」（オー）と呼ぶことが多い。これは[[原点 (数学)|原点]]を英語で「オリジン」（{{Lang-en-short|Origin|links=no}}）というのでその[[頭文字]]をとったものである。中心が点Oである円は「円O」（えんオー）と呼ぶ。なお中心は英語では「センター」（{{Lang-en-short|Center|links=no}}）というので、円の中心が「C」（シー）になっている文献もある<ref>[https://www.kyo-kai.co.jp/img/support/motto/motto24.pdf もっと数学の世界、「原点はオー！」]</ref>。

なお、数学以外の分野ではこの曲線のことを（あるいはそれに近い[[オーバル|卵形]]の総称として）「'''丸'''」（まる）という俗称で呼称することがある。
[[画像:円.png|thumb|right|円: 中心、半径・直径、円周]]
== 円の性質 ==
=== 弦と弧 ===
円周と2点で交わる直線を'''[[割線]]'''という。このときの交点を2点 A, B とするとき、円周によって、割線から切り取られる線分 AB のことを'''弦'''といい、弦 AB と呼ぶ。特に円の中心を通る割線を'''中心線'''という。中心線は円の対称軸であり、[[円の面積]]を2等分する。円周が中心線から切り取る弦やその長さを、円の'''直径'''という。直径は半径の2倍に等しい。円周の長さは、円の大きさによってさまざまであるが、円周の長さの直径に対する比の値は、円に依らず一定であり、これを'''[[円周率]]'''という。特に断りのない限り、普通、円周率は [[π|{{π}}]] で表す。円の半径を ''r''(半径の英語 radiusの頭文字が由来) とすると、円周の長さは 2{{π}}''r'' で表される。また、[[円の面積]]は、{{π}}''r'' {{sup|2}} で表すことができる。同じ長さの周を持つ閉曲線の中で、面積が最大のものである。（'''等周問題'''）
[[画像:中心角と円周角.png|thumb|right|中心角と円周角]]
一方、円周は割線によって 2 つの部分に分けられる。このそれぞれの部分を '''円弧'''（{{lang-en-short|arc|links=no}}）または単に'''弧'''という。
:2つの弧の長さが等しくないとき、長い方の弧を '''優弧'''（{{lang-en-short|major arc|links=no}}）、短い方の弧を'''劣弧'''（{{lang-en-short|minor arc|links=no}}）という。
:2つの弧の長さが等しいとき、これらの弧を '''半円周''' という。このとき、割線は円の中心を通る中心線である。
円周上の2点 A, B を両端とする弧を弧 AB と呼ぶ。記号では、A͡B と表記する（記号 ⌒ は AB の上にかぶせて書くのが正しい）。これでは優弧・劣弧のどちらであるかを指定できていないデメリットがあり、一方を特定したい場合は、その弧上の点 P を用いて弧APB のように表記する。

円 O の周上に2点 A, B があるとき、半径 OA, OB と弧 AB とで囲まれた図形を'''扇形'''（{{lang-en-short|sector|links=no}}） O-A͡B という。また、扇形に含まれる側の ∠BOA を弧 AB を見込む'''中心角'''という。一つの円で考えるとき、中心角とその角が見込む弧の長さは[[比例]]する。同様に、中心角とその角が切り取る扇形の面積も比例する。

弦 AB と弧 AB で囲まれた図形を'''弓形'''（{{lang-en-short|segment|links=no}}）という。

=== 中心角と円周角 ===
弧 AB に対して、弧 AB 上にない円 O の周上の点 P を取るとき、∠APB を弧 AB に対する'''[[円周角]]'''という。弧 AB に対する円周角は点 P の位置に依らず一定であり、中心角 AOB の半分に等しい（'''円周角の定理'''）。特に弧 AB が半円周のときは、弧 AB に対する円周角は[[直角]]である（'''直径を見込む円周角''':[[ターレスの定理]]）。
[[画像:円に内接する四角形.png|thumb|left|円と内接四角形]]
円 O の周上に4点 A, B, C, D があるとき、[[四角形]] ABCD は円 O に'''内接する'''という（'''内接四角形'''）。このとき、円 O を四角形 ABCD の'''外接円'''という。四角形が円に内接するならば、四角形の対角の和は平角に等しい（'''内接四角形の定理'''）。円に内接する四角形の外角の大きさは、その'''内対角'''の大きさに等しい。また、これらの逆も成立する（[[四点共円定理]]、内接四角形の定理）。
{{-}}
[[画像:接弦定理.png|thumb|right|接弦定理]]
円周と直線が1つの共有点を持つとき、その直線を円の'''[[接線]]'''（{{lang-en-short|tangent|links=no}}）といい、共有点を'''接点'''という。円の中心と[[接点]]を結ぶ半径（'''接点半径'''）は、接線と接点で[[直交]]する。

円の外部の点 A から円 O に2つの接線が描ける。この接点を S, T とすると、線分 AS, AT の長さを'''接線の長さ'''という。接線の長さは等しい。円の接線とその接点を通る弦が作る角は、その角の中にある弧に対する円周角に等しい（'''[[接弦定理]]'''）。すなわち、下図で AT が接線ならば、∠BAT = ∠APB である。接弦定理は逆も成立する。

円の[[接吻数]]は6である。このことの{{要出典範囲|完全な証明は[[1910年]]までできなかった|date=2016年9月}}。
{{-}}

== 2円の位置関係 ==
[[File:Positional relationship of circles.png|thumb|right|位置関係]]
=== 位置関係 ===
2つの円（円 A, 円 B とする）の位置関係は次の場合に分けられる。
# 円 A が円 B の内部にある場合 : 円 B は円 A を'''内包する'''という。特に、中心の位置が一致するとき、この2円を'''同心円'''と呼ぶ。
# 円 A が円 B の周または内部にあり、1点のみを共有する場合 : 円 A は円 B に'''内接する'''という。
# 2円が異なる2点を共有する場合 : 2円は2点で'''交わる'''という。この2点を結ぶ弦を'''共通弦'''という。
# 2円が互いの周または外部にあり、1点のみを共有する場合 : 円 A は円 B に'''外接する'''という。
# 2円が互いの外部にあり、共有点がない場合 : 2円は'''離れている'''という。

=== 共通弦の性質 ===
[[File:共通弦を持つ二円とその共通弦の一端を含む別の円との共通弦の交点の性質.gif|thumb|直線ＸＹを共通弦とする正円をＡ・Ｂ、Ｘを包みＹを外にする正円をＣ、Ｙを包みＸを外にする正円をＤ、ＡＣの共通弦とＢＣの共通弦の交点をＥ、ＡＤの共通弦とＢＤの共通弦の交点をＦ、とした時、ＥとＦはＸＹの線上にある。]]
[[File:三角形の各辺を直径とする正円同士の共通弦が頂垂線となる図.gif|right|thumb|三角形の三辺の位置と長さそのものを[[直径]]とする三つの円によって生じる３本の共通弦は、その三角形の３本の[[頂垂線 (三角形)|頂垂線]]となる。]]
# 既定の共通弦を持つ2円(A・B)と、その共通弦の一端のみを包む任意の別の円Cとの間にできる2本の共通弦(ACとBCの共通弦)の交点は、ABの共通弦上に存在する。
# 三角形の三辺の位置と長さそのものを[[直径]]とする三つの円によって生じる３本の共通弦は、その三角形の３本の[[頂垂線 (三角形)|頂垂線]]となる。

=== 共通接線 ===
2つの円に共通する[[接線]]を'''共通接線'''という。

特に、2円が共通接線に関して、同じ側にあるとき'''共通外接線'''、異なる側にあるとき'''共通内接線'''という。

上記の場合分けにおいて、描ける共通接線の個数は、
# なし
# 共通外接線1本
# 共通外接線2本
# 共通内接線1本、共通外接線2本の計3本
# 共通内接線2本、共通外接線2本の計4本
のいずれか。

== 円の方程式 ==
[[Image:Circle center a b radius r.svg|thumb|right|半径 {{math|''r'' {{coloneqq}} 1}}, 中心 {{math|(''a'', ''b'') {{coloneqq}} (1.2, −0.5)}} の円]]
[[解析幾何学]]において、{{math|(''a'', ''b'')}} を中心とする半径 {{mvar|r}} の円は <math display="block"> (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2</math> を満たす点 {{math|(''x'', ''y'')}} 全体の[[軌跡 (数学)|軌跡]]である。この方程式を、'''円の方程式'''と言う。これは、中心 {{math|(''a'', ''b'')}} と円上の任意の点 {{math|(''x'', ''y'')}} との二点間の距離が {{mvar|r}} であるということを述べたものに他ならず、半径を斜辺とする直角三角形に[[ピタゴラスの定理]]を適用しすることで導出できる（直角を挟む二辺は、各座標の[[絶対差]] {{math|{{abs|''x − a''}}, {{abs|''y − b''}}}} を長さとする）。
* 中心を原点に取れば、方程式は <math display="inline">x^2 + y^2 = r^2</math> と簡単になる。

{{mvar|α, β, γ, δ}} は実数で {{math|''α'' ≠ 0}} なるものとし、<math display="block">a := \frac{-\beta}{\alpha}, \quad b := \frac{-\gamma}{\alpha}, \quad \rho := \frac{\beta^2 +\gamma^2 - \alpha\delta}{\alpha^2}</math> と書けば、上記の方程式は <math display="block">f(x,y) := \alpha(x^2 + y^2) + 2(\beta x + \gamma y) + \delta = 0</math> の形になる。この形（{{math|''x''{{exp|2}}, ''y''{{exp|2}}}} の係数が等しく、{{mvar|xy}} の項を持たない）の方程式が与えられたとき、以下の何れか一つのみが成り立つ:
* {{mvar|''ρ'' < 0}} のときは、この方程式に解となる実点は存在しない。この場合を'''虚円'''<ref>{{kotobank|虚円|精選版日本国語大辞典}}</ref> (''imaginary circle'') の方程式と呼ぶ。
* {{math|1=''ρ'' = 0}} のとき、方程式 {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = 0}} は中心となる一点 {{math|''O'' {{coloneqq}} (''a'', ''b'')}} のみを解とし、'''点円'''<ref>{{kotobank|点円|ブリタニカ国際大百科事典小項目事典}}</ref> (''point circle'') の方程式と言う。
* {{math|''ρ'' > 0}} のときには、{{math|1=''f''(''x'', ''y'') = 0}} は {{mvar|O}} を中心とする半径 {{math|''r'' {{coloneqq}} {{sqrt|''ρ''}}}} の円（あるいは'''実円''' (''real circle'')）の方程式になる。

{{math|1=''α'' = 0}} のとき {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = 0}} は直線の方程式であり、{{mvar|a, b, ρ}} は（射影平面上で、あるいは見かけ上）無限大になる。実は、直線を「[[無限遠点]]を中心とする半径無限大の円」と考えることができる（{{ill2|一般化された円|en|generalized circle}} の項を参照）。

=== 別の表示法 ===
; {{vanc|ベクトル表示}}: 中心の位置ベクトルを {{mathbf|c}} とし、円上の任意の点の位置ベクトルを {{mathbf|x}} とすると、これら二点間の距離は、ベクトルの[[ユークリッドノルム]] {{math|{{norm|•}} {{coloneqq}} {{norm|•}}{{sub|2}}}}: (''x'', ''y'') {{mapsto}} {{sqrt|''x''{{exp|2}} + ''y''{{exp|2}}}} を用いて、{{math|{{norm|'''x''' − '''c'''}}}} と書けるから、半径 {{mvar|r}} の円の方程式は <math display="block">\|\mathbf{x}-\mathbf{c}\| = r</math> となる。各点の成分表示が {{math|'''c''' {{coloneqq}} (''a'', ''b''), '''x''' {{coloneqq}} (''x'', ''y'')}} と与えられれば、<math display="inline">r^2 = \|\mathbf{x}-\mathbf{c}\|^2 = (x-a)^2+(y-b)^2</math> は上記の円の方程式である。
; {{vanc|媒介変数表示}}
: {{math|(''a'', ''b'')}} を中心とする半径 {{mvar|r}} の円の方程式を[[正弦函数]]および[[余弦函数]]を用いて <math display="block">\begin{cases}
x = a + r\cos(\theta)\\
y = b + r\sin(\theta)
\end{cases}\qquad (0 \leq \theta < 2\pi )</math> と媒介表示できる。幾何学的には、媒介変数 {{mvar|θ}} を {{math|(''a'', ''b'')}} から出る {{math|(''x'', ''y'')}} を通る[[半直線]]が、始線（{{mvar|x}}-軸の正の部分）に対してなす角の[[角度]]と解釈できる。
: 円の別の媒介表示が[[半角正接置換]]により、<math display="block">\begin{cases} x = a + r \frac{1-t^2}{1+t^2}\\ y = b + r \frac{2t}{1+t^2}\end{cases}</math> と与えられる。幾何学的には、この媒介変数 {{mvar|t}} の {{mvar|r}} に対する比を、中心を通り {{mvar|x}}-軸に平行な直線に関する[[立体射影]]として解釈できる。この媒介表示は、{{mvar|t}} が任意の実数のみならず無限遠点においても意味を持つが、その一方で円の最も下にある一点は表せないので除かなければならない。

=== その他の標準形 ===
; 三点標準形: [[共線|同一直線上]]にない三点を {{math|(''x{{sub|i}}'', ''y{{sub|i}}'')}} ({{math|1=''i'' = 1, 2, 3}}) とすると、その三点を通るという条件を満たす円は一つに決まり、その方程式を <math display="block">
\frac{({\color{green}x}-x_1)({\color{green}x}-x_2)+({\color{red}y}-y_1)({\color{red}y}-y_2)}
{({\color{red}y}-y_1)({\color{green}x}-x_2)-({\color{red}y}-y_2)({\color{green}x}-x_1)}
=\frac{(x_3-x_1)(x_3-x_2)+(y_3-y_1)(y_3-y_2)}
{(y_3-y_1)(x_3-x_2)-(y_3-y_2)(x_3-x_1)}
</math> という形に表すことができる。これは[[行列式]]を用いて <math display="block">\begin{vmatrix}
x^2 +y^2 &x &y &1\\
x_1^2+y_1^2 &x_1 &y_1 &1\\
x_2^2+y_2^2 &x_2 &y_2 &1\\
x_3^2+y_3^2 &x_3 &y_3 &1
\end{vmatrix} =0</math> と表すこともできる。

=== 射影平面 ===
[[射影平面]]上の円の方程式は、円上の任意の点の斉次座標を（[[埋め込み (数学)|埋め込み]] {{math|(''x'', ''y'') {{mapsto}} {{bracket|''x'' : ''y'' : 1}}}} のもとで） {{math|{{bracket|''x'' : ''y'' : ''z''}}}} と書くとき、その一般形を <math display="block">x^2+y^2-2axz-2byz+cz^2 = 0</math> と書くことができる。

=== 極座標系 ===
平面の座標系として、[[直交座標系]]の代わりに[[極座標系]]を用いれば、円の方程式の極座標表示が作れる。円上の任意の点の極座標を {{math|(''r'', ''θ'')}} とし、中心の極座標を {{math|(''r''{{sub|0}}, ''φ'')}}（つまり、中心の原点からの距離が {{math|''r''{{sub|0}}}} で、{{mvar|φ}} は原点から中心へ結んだ半直線が、{{mvar|x}}-軸の正の部分から反時計回りになす角）とするとき、半径 {{mvar|ρ}} の'''{{vanc|円の極方程式}}'''は <math display="block">r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \varphi) + r_0^2 = \rho^2</math> と書ける。
* 中心が原点にあるときには、方程式は {{math|1=''r'' = ''ρ''}} ({{mvar|θ}} は任意) という単純な形をしている（極座標系において原点は、動径成分が {{math|1=''r'' = 0}} かつ偏角成分 {{mvar|θ}} は任意と表されるのであった）。
* 原点が円上にあるとき、方程式は <math display="inline">r = 2 \rho\cos(\theta - \varphi)</math> と簡約される。例えば、半径 {{mvar|ρ}} が中心の動径成分 {{math|''r''{{sub|0}}}} に等しいときはそうである。
* 一般の場合の方程式を {{mvar|r}} について解くことができて、<math display="block">r = r_0 \cos(\theta - \phi) \pm \sqrt{\rho^2 - r_0^2 \sin^2(\theta - \varphi)}</math> となる。ここで {{math|±}} の符号を両方取らないと、半円しか記述できない場合があるので注意。

=== 複素数平面 ===
[[複素数平面]]を用いれば、平面上の円は複素数を用いても記述できる。中心が {{mvar|c}} で半径が {{mvar|r}} の円の方程式は、[[複素数の絶対値]]を用いて <math display="block">|z-c| = r</math> と書ける。これは本質的に[[#ベクトル表示|円のベクトル方程式]]と同じものである（複素数平面における複素数の加法および実数倍は、成分表示された平面ベクトルの加法および実数倍と同一であり、複素数の絶対値はユークリッドノルムと同一視できる）。[[極形式]]を考えれば、{{math|1={{abs|''z − c''}} = ''r''}} という条件は、{{math|1=''z − c'' = ''r''⋅[[指数函数|exp]](''iθ'')}} ({{math|θ}} は任意) と同値であることがわかる（これは上記の[[#媒介変数表示|媒介変数表示]]に対応する）。

複素数の積に関して {{math|1={{abs|''z''}}{{exp|2}} = ''z''⋅{{overline|''z''}}}} が成り立つことに注意すれば、この方程式は実数 {{mvar|p, q}} および複素数 {{mvar|g}} を用いて <math display="block">pz\overline{z} + gz + \overline{gz} = q</math> の形に書ける（<math>p := 1,\, g:=-\overline{c},\, q:=r^2-|c|^2</math>）。この形の方程式は、円だけでなく一般には{{ill2|一般化された円|en|generalised circle}}を表すものである（一般化された円とは、通常の円となるか、さもなくば[[直線]]である）。

[[#円の極方程式|極方程式]]も[[極形式]]を用いれば複素数で記述できる。

=== 接線の方程式 ===
円上の点 {{mvar|P}} における[[接線]]は、{{mvar|P}} を通る直径に垂直である。したがって、円の中心を {{math|(''a'', ''b'')}}, 半径を {{mvar|r}} とし、{{math|''P'' {{coloneqq}} (''x''{{sub|1}}, ''y''{{sub|1}})}} とすれば、垂直条件により接線の方程式は {{math|(''x''{{sub|1}} − ''a'')''x'' + (''y''{{sub|1}} – ''b'')''y'' {{=}} ''c''}} の形をしていなければならない。これが {{math|(''x''{{sub|1}}, ''y''{{sub|1}})}} を通るから {{mvar|c}} は決定できて、接線の方程式は <math display="block">(x_1-a)x+(y_1-b)y = (x_1-a)x_1+(y_1-b)y_1</math> または <math display="block">(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) = r^2</math> の形に書ける。{{math|''y''{{sub|1}} ≠ ''b''}} ならばこの接線の傾きは <math display="block">\frac{dy}{dx} = -\frac{x_1-a}{y_1-b}</math> であるが、これを[[陰函数微分法]]を用いて求めることもできる。

中心が原点にあるときは、接線の方程式は <math display="inline">x_1x+y_1y = r^2</math> となり、傾きは<math display="inline">\frac{dy}{dx} = -\frac{x_1}{y_1}</math> である。原点を中心とする円では、各点の位置ベクトル {{math|(''x'', ''y'')}} と接ベクトル {{math|(''dx'', ''dy'')}} が常に[[直交]]する（つまり、内積が零になる）から、<math display="bock"> x\mathit{dx} + y\mathit{dy} = 0</math> は微分形の円の方程式である。

== 円の幾何学 ==
[[三角形]]や円に関する事柄を扱う[[幾何学]]（相似や面積を用いない）は'''円論'''と呼ばれ、古来非常に深く研究されてきた。最も[[平面幾何学]]らしい幾何学とも呼ばれる。
=== [[九点円]]の定理 ===
三角形の
:それぞれの頂点から対辺に下ろした垂線の足（三つ）
:辺の中点（三つ）
:頂点と垂心を結んだ線分の中点（三つ）
は全て同一円上にある。この円のことを九点円と呼ぶ。

=== [[六点円]]の定理 ===
三角形のそれぞれの頂点から下ろした垂線の足から他の二辺に下ろした、合計 6 個の垂線の足は、同一円周上にある、という定理。中学で習う円の性質だけで証明することができるが、かなり難解。

=== [[ブレーズ・パスカル|パスカル]]の定理 ===
円に内接する六角形の対辺の延長線の交点は一直線上にある。更に拡張して、二次曲線上に異なる六つの点 ''P''1～''P''6 をとると、直線 ''P''1''P''2 と ''P''4''P''5 の交点 ''Q''1、''P''2''P''3 と ''P''5''P''6 の交点 ''Q''2、''P''3''P''4 と ''P''6''P''1 の交点 ''Q''3は同一直線上にある。また、''P''''i'' における接線と ''P''''j'' における接線の交点を ''R''''ij'' とすると、3 直線 ''R''12''R''45、''R''23''R''56、''R''34''R''61 は一点で交わる。一番初めの、円に内接する六角形の証明は、うまく補助円を書くことで、円の性質と三角形の相似だけですることができる。

=== フォイエルバッハの定理 ===
三角形の'''内接円'''は、九点円に内接する。


== 一般化 ==
=== 球面・超球面 ===
{{main|球面|超球面}}
3 次元ユークリッド空間においてある点からの距離が一定であるような点の集合を球面という。内部を含めた球面を[[球体|球]]という。一般に、''n'' を自然数とするとき、''n'' + 1 次元ユークリッド空間においてある点からの距離が一定であるような点の集合のことを、''n'' 次元球面といい、''S{{sup|n}}'' と書く。円は 1 次元球面である。

=== 円錐曲線 ===
{{main|円錐曲線|楕円|放物線|双曲線}}
2つの点（焦点と呼ばれる）からの距離の和が一定であるような点の軌跡を[[楕円]]という。楕円は一般に円を潰したような形をしており、楕円のうち特別な場合――2つの焦点が一点で一致する場合――が円である（このとき、焦点は「円の中心」と呼ばれる）。一般の楕円でなく円であることを特に明示したいときには、円のことを'''正円'''（せいえん）または'''真円'''（しんえん）と呼ぶことがある。

=== 距離円、ノルム円 ===
「定点からの距離が一定である点全体の成す集合」として円を定義するならば、定義に用いる「距離」の定義を変えれば異なる形状の「円」を考えることができるということになる。[[Lp空間#有限次元における p-ノルム|p-ノルム]]の誘導する距離は <math display="block"> \| x \|_p := (|x_1|^p + |x_2|^p + \dotsb + |x_n|^p)^{1/p}</math> で与えられる。ユークリッド幾何学における通常の[[ユークリッド距離]]: <math display="block">\| x\|_2 = \sqrt{ |x_1|^2 + |x_2|^2 + \dotsb + |x_n|^2 } </math> は {{math|1=''p'' = 2}} の場合である。

タクシー幾何学で用いる[[マンハッタン距離]]（{{math|''L''{{sup|1}}}}-距離）は {{math|1=''p'' = 1}} の場合であり、この距離に関する円（タクシー円）は各辺が座標軸から{{math|45°}}ずれた[[正方形]]となる。半径 {{mvar|r}} のタクシー円の各辺の長さは、ユークリッド距離で測れば {{math|{{sqrt|2}}''r''}} だが、タクシー距離で測れば {{math|2''r''}} である。よって、この幾何学で[[円周率]]（半径に対する周長の比）に相当するものは {{math|4}} ということになる。タクシー幾何学における単位円（半径が 1 の円）の方程式は、[[直交座標系]]では <math display="inline">|x| + |y| = 1</math>, [[極座標系]]では <math display="inline">r = \frac{1}{| \sin \theta| + |\cos\theta|}</math> と書ける。これは、その中心の{{ill2|フォンノイマン近傍|en|von Neumann neighborhood}}である。

平面上の[[チェビシェフ距離]]（[[ルベーグ空間|''L''{{sub|∞}}]]-距離）に対する半径 {{mvar|r}} の円もまた各辺の長さが {{math|2''r''}} の正方形（ただし、各辺は座標軸に平行）であるから、平面チェビシェフ距離は平面マンハッタン距離を回転およびスケール変換したものと看做せる。しかし {{math|''L''{{sup|1}}}} と {{mvar|''L''{{sup|∞}}}} の間に成り立つこの同値性は他の次元に一般化することはできない。

=== その他の円を特別の場合として含む曲線族 ===
円は他の様々な図形の極限の場合と見ることができる:
* デカルトの卵形線は[[焦点 (幾何学)|焦点]]と呼ばれるふたつの定点からの距離の重み付き和が一定となるような点全体の成す軌跡である。各距離に付ける重みが全て等しいとき[[楕円]]となり、[[離心率]]が {{math|0}} であるような楕円として円が得られる（これは二つの焦点が互いに重なる極限の場合であり、一致した焦点は得られる円の中心となる）。ふたつの重みのうちの一方を {{math|0}} として得られるデカルトの卵形線としても、円が得られる。
* [[スーパー楕円|超楕円]]は、適当な正数 {{mvar|a, b > 0}} と自然数 {{mvar|n}} に対する <math display="inline">\left|\frac{x}{a}\right|^n + \left|\frac{y}{b}\right|^n = 1</math> の形の方程式を持つ。{{math|''b'' {{=}} ''a''}} のとき超円と言う。円は {{math|''n'' {{=}} 2}} となる特別な超円である。
* [[カッシーニの卵形線]]は二つの定点からの距離の積が一定となるような点全体の軌跡を言う。ふたつの定点が一致するとき、円が得られる。
* [[定幅曲線]]は、その幅—図形の幅は、それを挟む二つの平行線が、各々その図形の境界と一点のみを共有するときの、それら平行線間の距離として定める—が平行線の方向のとり方に依らず一定であるような図形を言う。円はもっとも単純な定幅曲線形の例である。

== 拡幅円弧の長さ ==
半径 ''R'' の円弧上の始点で幅 ''w''{{sub|1}}、終点で幅 ''w''{{sub|2}} の拡幅円弧の長さの計算
* <math>L=R\theta</math>
* <math>k=\frac{w_2 -w_1}{L}</math>
とすると、
:<math>dL=(R+w_1 +kR\theta )d\theta</math>
:<math>\begin{array}{rcl}
Lw &= &\displaystyle (R+w_1 )\theta +\frac{1}{2} kR\theta^2 \\
&= &\displaystyle L\left\{1+\frac{w_1}{R} +\frac{kL}{2R} \right\} \\
&= &\displaystyle L\left\{1+\frac{1}{R} ( w_1 +\frac{1}{2}kL)\right\} \\
&= &\displaystyle L\left\{1+\frac{1}{R} \left( w_1 +\frac{1}{2} (w_2 -w_1 )\right) \right\} \\
&= &\displaystyle L\left\{1+\frac{1}{R} \frac{w_1 + w_2}{2} \right\} \\
&= &\displaystyle \left( R+\frac{w_1 +w_2}{2} \right) \theta
\end{array}</math>
ゆえに、拡幅円の長さは、平均半径に中心角をかけたものとなる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}

=== 出典 ===
{{Reflist}}

==関連項目==
* [[単位円]]
* [[楕円]]
* [[球]]
* [[球面]]
* [[アルハゼンの定理]]
* [[円周率]]
* [[⌒]]
{{Link FA|mk}}
{{DEFAULTSORT:えん}}
[[Category:円 (数学)|*]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:幾何学]]
[[Category:角度]]
[[Category:数学に関する記事]]
{{Wikipedia/Ja}}