多元環

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多元環(たげんかん、algebra)とは可換上の加群としての構造を持ち、その構造と両立しているようなを持つ代数的構造のことである。algebra を直訳して代数(だいすう)と呼ぶことも多い。また、ブルバキでは(結合的なものを)線型環(せんけいかん)と呼んでいる。

定義[編集]

A が可換環 R 上の分配多元環(あるいは分配的多元環)もしくは R 代数であるとは

  1. A には 3 つの演算:和 +, 積 ×, R の元のスカラー積 · が定義される。
  2. 和の交換法則:x + y = y + x が、任意の x, yA に対して成り立つ。
  3. 和の結合法則: x + (y + z) = (x + y) + z が、任意の x, y, zA に対して成り立つ。
  4. 零元の存在: x + 0A = x が任意の xA に対して成り立つような 0AA に存在する。
  5. マイナス元の存在: 任意の xA に対し、x + (-x) = 0A を満たすような A の元 -x が存在する。
  6. 分配法則: (x + yz = (x × z) + (y × z), x ×(y + z) = (x × y) + (x × z) が、任意の x, y, zA に対して成り立つ。
  7. α(x + y) = αx + αy が、任意の α ∈ R, x, yA に対して成り立つ。
  8. (α + β)x = αx + βx が、任意の α, β ∈ R, xA に対して成り立つ。
  9. (αβ)x = α(βx) が、任意の α, β ∈ R, xA に対して成り立つ。
  10. α(a × b) = (αab = a ×(αb) が任意の α ∈ Ra, bA に対して成り立つ。

さらに、積 × が結合法則を満たすなら A結合多元環(あるいは結合的多元環)であるという。ただし、文脈により紛れのないと思われる場合においては、分配多元環あるいは結合多元環を単に多元環とよぶことがある。

積が結合的ではない多元環で重要なものにリー環ジョルダン環がある。

諸定義[編集]

上記の条件に加えて

  • 単位元の存在: x × 1A = 1A × x = x が任意の xA に対して成り立つような 1AA に存在する。
  • 逆元の存在:0A でない任意の xA に対し、x × x-1 = x-1 × x = 1A を満たすような A の元 x-1 が存在する。

を満たすならば、AR 上の斜体 (division algebra) であるという。

また、R が単位元 1R を持つならば、

  • 1R x = x が任意の xA に対して成り立つ。

も仮定に加えることが多い。

さらに RA が積 × に関する単位元 1A をもつならば、写像

RA; α → α1A

は多元環の埋め込み、すなわち単射な多元環の準同型R-線型かつ環の準同型)になるので、R とその像を同一視することができる。この同一視を行うとき、R のスカラー倍は A の元としての積と一致する。同時に RA の中心 C(A) に含まれる。R = C(A) となるなら AR中心的 (central) であるという。

R-加群の列 {An}nN直和 A に対し、積 × が定義されて A が多元環となり、さらに任意の r, sN に対し、Ar × AsAr+s をみたすならば、A次数つき多元環 (graded algebra) であるという。

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  • 任意のベクトル空間 V に積を、任意の a, bV に対し ab = 0 と定めると多元環になる。(これはリー環にもなっている。)
  • K の任意の拡大体 LK 上の多元環。
  • R 上の n 次全行列Mn(R) は R 上の多元環。体 F 上の中心的単純環は、ある F 上の斜体 D 上の全行列環 Mr(D) に同型である(Wedderburn の定理)。
  • 可換環 R 上の多項式R[x] は、高々 n 次の多項式の全体を An とおくことにより、次数つき多元環になる。

関連項目[編集]

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