Qザールシュッツの和公式

qザールシュッツの和公式(q-Saalschütz summation formula)はザールシュッツの定理のqアナログであり、q超幾何級数<math>{_3\phi_2}</math>の和を与える公式である。

<math>{_3\phi_2}\left[\begin{matrix}a,b,q^{-n}\\c,\frac{ab}{c}q^{-n+1}\end{matrix};q,q\right]=\frac{(\frac{c}{a};q)_n(\frac{c}{b};q)_n}{(\frac{c}{ab};q)_n(c;q)_n}</math>

但し、<math>(a;q)_n</math>はqポッホハマー記号である。

証明

qザールシュッツの和公式はハイネの変換式から導かれる。ハイネの変換式を反復すると

<math>\begin{align}{_2\phi_1}\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};q,z\right]

&=\frac{(b;q)_\infty(az;q)_\infty}{(c;q)_\infty(z;q)_\infty} {_2\phi_1}\left[\begin{matrix}z,\frac{c}{b}\\az\end{matrix};q,b\right]\\ &=\frac{(b;q)_\infty(az;q)_\infty}{(c;q)_\infty(z;q)_\infty}\cdot \frac{(\frac{b}{c};q)_\infty(bz;q)_\infty}{(az;q)_\infty(b;q)_\infty} {_2\phi_1}\left[\begin{matrix}b,\frac{abz}{c}\\bz\end{matrix};q,\frac{c}{b}\right]\\ &=\frac{(b;q)_\infty(az;q)_\infty}{(c;q)_\infty(z;q)_\infty}\cdot \frac{(\frac{b}{c};q)_\infty(bz;q)_\infty}{(az;q)_\infty(b;q)_\infty}\cdot \frac{(\frac{abz}{c};q)_\infty(c;q)_\infty}{(bz;q)_\infty(\frac{c}{b};q)_\infty} {_2\phi_1}\left[\begin{matrix}\frac{c}{b},\frac{c}{a}\\c\end{matrix};q,\frac{abz}{c}\right]\\ &={_2\phi_1}\left[\begin{matrix}\frac{c}{a},\frac{c}{b}\\c\end{matrix};q,\frac{abz}{c}\right]\frac{(\frac{abz}{c};q)_\infty}{(z;q)_\infty}\\ \end{align}</math> となり、q二項定理を用いて

<math>\begin{align}{_2\phi_1}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n(b;q)_n}{(q;q)_n(c;q)_n}z^n

&=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{a};q)_m(\frac{c}{b};q)_m}{(q;q)_m(c;q)_m}\left(\frac{abz}{c}\right)^m\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\frac{ab}{c};q)_k}{(q;q)_k}z^k\\ \end{align}</math> となる。<math>z^n</math>の係数を比べると

<math>\begin{align}\frac{(a;q)_n(b;q)_n}{(q;q)_n(c;q)_n}

&=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{a};q)_m(\frac{c}{b};q)_m}{(q;q)_m(c;q)_m}\left(\frac{ab}{c}\right)^m\frac{(\frac{ab}{c};q)_{n-m}}{(q;q)_{n-m}}\\ &=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{a};q)_m(\frac{c}{b};q)_m}{(q;q)_m(c;q)_m}\left(\frac{ab}{c}\right)^m\frac{(\frac{ab}{c};q)_n(q^{1+n-m};q)_{m}}{(q;q)_n(\frac{ab}{c}q^{n-m};q)_{m}} \end{align}</math> であるが、qポッホハマー記号の変換式<math>(aq^{-m+1};q)_m=(-a)^mq^{-m(m-1)/2}\left(a^{-1};q\right)_m</math>を用いて、

<math>\begin{align}

&\frac{(a;q)_n(b;q)_n}{(q;q)_n(c;q)_n}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{a};q)_m(\frac{c}{b};q)_m}{(q;q)_m(c;q)_m}\frac{(\frac{ab}{c};q)_n(q^{-n};q)_{m}}{(q;q)_n(\frac{c}{ab}q^{-n+1};q)_{m}}q^m\\ &\frac{(a;q)_n(b;q)_n}{(\frac{ab}{c};q)_n(c;q)_n}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{a};q)_m(\frac{c}{b};q)_m}{(q;q)_m(c;q)_m}\frac{(q^{-n};q)_{m}}{(\frac{c}{ab}q^{-n+1};q)_{m}}q^m ={_3\phi_2}\left[\begin{matrix}\frac{c}{a},\frac{c}{b},q^{-n}\\c,\frac{c}{ab}q^{-n+1}\end{matrix};q,q\right] \end{align}</math> を得る。<math>a,b</math>を<math>\tfrac{c}{a},\tfrac{c}{b}</math>に置き換えて

<math>{_3\phi_2}\left[\begin{matrix}a,b,q^{-n}\\c,\frac{ab}{c}q^{-n+1}\end{matrix};q,q\right]=\frac{(\frac{c}{a};q)_n(\frac{c}{b};q)_n}{(\frac{c}{ab};q)_n(c;q)_n}</math>

を得る。

出典

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