モノイド

モノイドは、二項演算の定義された集合の一種である。単系と訳されることもある。

定義

モノイドとは次のような集合 S をいう。
S 上に二項演算 · が定義されていて（すなわち、写像 · :S×S → S が存在して）、 次の二つの条件を満たす。

1. （結合法則）　任意の a, b, c に対して (a · b ) · c = a · (b · c )
2. （単位元の存在）　ある e が存在して任意の a に対して e · a = a · e = a

ただし、a · b は · (a, b) を表す。

二項演算 · が条件の 1. を満たすとき、S は半群と呼ばれる。つまり、モノイドとは「半群であって単位元を持つもの」である。
また、二項演算 · が上のほかに、逆元の存在を満たすとき、S は群と呼ばれる。

モノイドの例

1. （ 0 を含む）自然数全体の集合 N は、足し算について 0 を単位元とするモノイドである。
2. 上の集合 N は、さらにかけ算に対しても 1 を単位元とするモノイドである。
3. 正の自然数全体の集合 N₊ は、かけ算に対して 1 を単位元とするモノイドである。
4. 集合 S から S 自身への写像全体の集合は、写像の合成を演算と考えることで、恒等写像を単位元とするモノイドになる。
5. 自然数係数の n 次正方行列全体の集合 M_n(N) は、足し算に関しても（単位元は零行列）かけ算に関しても（単位元は単位行列）モノイドである。
6. 環を乗法群としてみたとき、環はモノイドである。
7. その他、すべての群はモノイドである。
8. モノイドのなかで、逆元を持つ元のことを単元という。単元全体の集合は群をなす。

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