斜体 (数学)

斜体（しゃたい、skew field; 歪体, Schiefkörper, corps）あるいは非可換体（ひかかんたい、non-commutative field）は加減乗除が可能な代数系（体）で非可換な積をもつようなもののことである。除法の可能な環であるという意味で可除環（かじょかん、division ring, Divisionsring）ともいう。係数環を持ち、多元環の構造を持つことを強調する場合は、特に多元体（たげんたい、division algebra; 可除多元環）と呼称することも多い。

定義

具体的な定義については体あるいは環の各項目を参照せよ（殊に環論の用語は頻繁に用いられる）。斜体の定義はおのおのに

• 非可換性: 乗法に関して、ある x, y について xy ≠ yx なることが起こりうる。

あるいは

• 可除性: x が零元でないならば、その乗法逆元 x⁻¹ が必ずある。

という条件を課したものである。逆元が定まる必要性から、（可除な環と考えるときは）環としては単位的環であることを暗黙に要請する。

斜体の概念は、いくつかの立場から捉えられ用いられるため、それぞれの属する文脈でとくに積の結合性を要求するか否かなどについて差異が認められる。たとえば非可換な体、あるいは可除な単位的（結合）環を相手にする文脈では結合的なものに限ることが多く、非結合的（分配的）多元環で可除なものとする立場からは非結合的（分配的）斜体が範疇に含まれうる。とくに非結合的斜体を認める立場からはアーサー・ケイリーの八元数の全体が成す非結合的分配環も斜体として扱うことができるため、八元数体という呼称が用いられることがある。

性質・諸概念

逆元の存在から、斜体 D の零でない任意の（左・右・両側）イデアル I は D の単位元 1_D を含まねばならず、それゆえに I は D 全体に一致せねばならない。逆に、左イデアルが零か全体にかぎるような単位的（結合）環は斜体となる（右イデアルに関する条件からも同じことがいえる）。斜体は自明でない両側イデアルを持たぬゆえ単純であり、特に可換単純環は常に可換体を成すが、一般に単純環であって斜体とならぬものが存在する。

斜体 D の中心

<math>C(D) := \{ x \in D \mid xy = yx \mbox{ for all } y \in D\}</math>

は可換体を成し、D は中心 C(D) 上の多元環となる。多元環に対すると同様、D の中心に可換体 F が含まれるとき、D は F 上定義されている、あるいは D は F 上の斜体であるという。逆に可換体 F が与えられたとき、F を中心とするその上の斜体はどれくらい存在するのかとの問には F のブラウアー群が答えをあたえる。これは、中心性および単純性が体の持ち上げで保たれることと、体上の単純環は常にある斜体上の全行列環に同型であるというアルティン・ウェダーバーンの定理とによるものである。

可換体 F 上の有限階数（つまりベクトル空間として有限次元）となる斜体 D の F 上の次元は平方数 n² であり、この n を D の F 上の次数 (degree) とよぶ。次数 n は D における F を含む極大可換体 L の F 上の次元として得られることが知られている

特にある種の斜体は、アルティン環の極小イデアル上の自己準同型環として得られる。一般に、任意の環上の既約加群の自己準同型環が斜体を成すことを確かめることができ、それをシューアの補題 (Schur's lemma) と呼ぶ。

斜体 D 上の（左・右）加群は可換体上の加群と同様に（ただし作用の左右は区別して）D上のベクトル空間と呼ばれる。

関連項目

• 体 (数学)
• 環 (数学)
• 類体論
• 四元数