多元環

多元環（たげんかん、algebra）とは可換環上の加群としての構造を持ち、その構造と両立しているような積を持つ代数的構造のことである。algebra を直訳して代数（だいすう）と呼ぶことも多い。また、ブルバキでは（結合的なものを）線型環（せんけいかん）と呼んでいる。

定義

A が可換環 R 上の分配多元環（あるいは分配的多元環）もしくは R 代数であるとは

1. A には 3 つの演算：和 +, 積 ×, R の元のスカラー積 · が定義される。
2. 和の交換法則：x + y = y + x が、任意の x, y ∈ A に対して成り立つ。
3. 和の結合法則： x + (y + z) = (x + y) + z が、任意の x, y, z ∈ A に対して成り立つ。
4. 零元の存在： x + 0_A = x が任意の x ∈ A に対して成り立つような 0_A が A に存在する。
5. マイナス元の存在： 任意の x ∈ A に対し、x + (-x) = 0_A を満たすような A の元 -x が存在する。
6. 分配法則： (x + y)× z = (x × z) + (y × z), x ×(y + z) = (x × y) + (x × z) が、任意の x, y, z ∈ A に対して成り立つ。
7. α(x + y) = αx + αy が、任意の α ∈ R, x, y ∈ A に対して成り立つ。
8. (α + β)x = αx + βx が、任意の α, β ∈ R, x ∈ A に対して成り立つ。
9. (αβ)x = α(βx) が、任意の α, β ∈ R, x ∈ A に対して成り立つ。
10. α(a × b) = (αa)× b = a ×(αb) が任意の α ∈ R と a, b ∈ A に対して成り立つ。

さらに、積 × が結合法則を満たすなら A は結合多元環（あるいは結合的多元環）であるという。ただし、文脈により紛れのないと思われる場合においては、分配多元環あるいは結合多元環を単に多元環とよぶことがある。

積が結合的ではない多元環で重要なものにリー環やジョルダン環がある。

諸定義

上記の条件に加えて

• 単位元の存在: x × 1_A = 1_A × x = x が任意の x ∈ A に対して成り立つような 1_A が A に存在する。
• 逆元の存在：0_A でない任意の x ∈ A に対し、x × x^-1 = x^-1 × x = 1_A を満たすような A の元 x^-1 が存在する。

を満たすならば、A は R 上の斜体 (division algebra) であるという。

また、R が単位元 1_R を持つならば、

• 1_R x = x が任意の x ∈ A に対して成り立つ。

も仮定に加えることが多い。

さらに R が体で A が積 × に関する単位元 1_A をもつならば、写像

R → A; α → α1_A

は多元環の埋め込み、すなわち単射な多元環の準同型（R-線型かつ環の準同型）になるので、R とその像を同一視することができる。この同一視を行うとき、R のスカラー倍は A の元としての積と一致する。同時に R は A の中心 C(A) に含まれる。R = C(A) となるなら A は R 上中心的 (central) であるという。

R-加群の列 {A_n}_n∈N の直和 A に対し、積 × が定義されて A が多元環となり、さらに任意の r, s ∈ N に対し、A_r × A_s ⊂ A_r+s をみたすならば、A は次数つき多元環 (graded algebra) であるという。

例

• 任意のベクトル空間 V に積を、任意の a, b ∈ V に対し ab = 0 と定めると多元環になる。（これはリー環にもなっている。）
• 体 K の任意の拡大体 L は K 上の多元環。
• 環 R 上の n 次全行列環 M_n(R) は R 上の多元環。体 F 上の中心的単純環は、ある F 上の斜体 D 上の全行列環 M_r(D) に同型である（Wedderburn の定理）。
• 可換環 R 上の多項式環 R[x] は、高々 n 次の多項式の全体を A_n とおくことにより、次数つき多元環になる。

関連項目

• 群論
• 環論
• 体論
• ベクトル空間
• 加群
• 群環
• リー環
• ジョルダン環

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