「黄金比」の版間の差分

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'''黄金比'''（おうごんひ、En:'''Golden ratio''', The Golden Mean/Rectangle）（＝[[PHI]]）は、最も美しいとされる[[比]]'''<math>\mathbf{1}:{{\mathbf{1}+\mathbf{\sqrt5}}\over\mathbf{2}}</math>'''。近似値は'''1:1.618'''、約5:8。[[線分]]を ''a'', ''b''の長さで 2 つに分割するときに、''a'' : ''b'' = ''b'' : (''a'' + ''b'') が成り立つように分割したときの比 ''a'' : ''b'' のことである。
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[[画像:FakeRealLogSpiral.png|250px|thumb|[[黄金長方形]]（縦横の長さの比が黄金比( 1: 1.618…)である長方形）から最大[[正方形]]を切り落とすと、元の長方形と[[図形の相似|相似]]になる。赤線は黄金螺旋、緑線は正方形内の四分円を接続したものである。黄色は重なっている部分を表す。]]
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'''黄金比'''（おうごんひ、{{lang-en-short|golden ratio}}）とは、次の値で表される[[比]]のことである
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:１　：　<math>\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>
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以下で述べるような数理的な性質は、[[有理数]]にならないこの値のみが持つ性質であり、有理近似等には基本的には意味が無い。「デザインを美しくする」などといった巷間よく見られる説については[[#用途]]の節を参照。小数に展開すると 1 : {{val|1.6180339887|end=...}} あるいは {{val|0.6180339887|end=...}} : 1 といった値となる。<!--
  
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[[画像:GoldenRatio 1.jpg|thumb|230px|横と縦の長さの比の値が黄金比の近似値1.618であるような長方形]]
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この値は、次の[[二次方程式]]の解である：
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:<math>x^2-x-1=0</math>-->
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黄金比は'''[[貴金属比]]'''の一つである（第1貴金属比）。
  
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黄金比の値は、[[二次方程式]] ''x''<sup>2</sup> = ''x'' + 1 の正の[[方程式|解]]である。しばしば[[ギリシア文字]]の[[φ]]（ファイ）で表されるが、[[τ]]（タウ) を用いる場合もある。
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幾何的には、{{math|''a'' : ''b''}} が黄金比ならば、
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:<math>
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:{{math|''a'' : ''b'' {{=}} ''b'' : (''a'' + ''b'')}}
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  \phi^2 = \phi + 1, \quad
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という等式が成り立つことから、縦横比が黄金比の[[長方形|矩形]]から最大[[正方形]]を切り落とした残りの矩形は、やはり黄金比の矩形となり、もとの矩形の[[図形の相似|相似]]になるという性質がある。[[正五角形]]の1辺と対角線との比は黄金比に等しい。数列 {{math2|''a'', ''b'', ''a'' + ''b''}} は、[[等比数列]]<!--かつ[[フィボナッチ数]]列-->をなす。そのため、（中項 {{mvar|b}} と末項 {{math|''a'' + ''b''}} の比という意味で）'''中末比'''（ちゅうまつひ）とも呼ばれる。
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</math>
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黄金比は'''中末比'''（ちゅうまつひ、'''Extreme and mean ratio'''）や'''外中比'''（がいちゅうひ）とも呼ばれる。''a'' : ''b'' = ''b'' : (''a'' + ''b'') が成り立つとき、 ''a'' を'''[[末項]]'''（まっこう、'''Extreme'''）、 ''b'' を'''[[中項]]'''（ちゅうこう、'''Mean'''）という。
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線分を2つに分け、短い部分と長い部分の長さの比が、長い部分と全体の長さの比に等しくなるようにしたときの比であるため、'''外中比'''（がいちゅうひ、{{lang-en-short|extreme and mean ratio}}）とも呼ばれる。黄金比で長さなどを分けることを'''黄金比分割'''または'''黄金分割'''（{{lang-en-short|golden section}} または {{lang-en-short|golden cut}}）という。
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黄金比における
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:<math>\frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>
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を'''黄金数'''（おうごんすう、{{lang-en-short|golden number}}）という。しばしば[[ギリシア文字]]の {{mvar|[[φ]]}}（ファイ）で表されるが、{{mvar|[[τ]]}}（タウ）を用いる場合もある。黄金数は、[[二次方程式]] {{math|''x''{{sup|2}} &minus; ''x'' &minus; 1 {{=}} 0}} の正の[[方程式|解]]である：
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:<math>\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1.6180339887\cdots</math>
  
 
==性質==
 
==性質==
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{{右|[[Image:FakeRealLogSpiral.png|thumb|none|[[黄金四角形]]（辺の長さの比が黄金比になる四角形）の黄金分割： 黄金四角形から短辺を一辺とする正方形を取り除いて、残る部分はまた黄金四角形となる。そうして、この長方形は無限個の正方形で埋め尽くされていく。]]
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{{右|
 
[[Image:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|thumb|none|黄金分割された[[黄金四角形]]の辺上で正方形のかどとなる点を滑らかにつないでいくと[[螺旋]]が現れる。黄金四角形に内接する[[螺旋]]は自然界では[[オウムガイ]]の殻の形状としても見られる、という説があるが、これは俗説である。黄金矩形に沿う[[螺旋]]もオウムガイの殻に見られる螺旋もともに[[対数螺旋]]であるが、螺旋の[[定数]]は異なる。]]
 
[[Image:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|thumb|none|黄金分割された[[黄金四角形]]の辺上で正方形のかどとなる点を滑らかにつないでいくと[[螺旋]]が現れる。黄金四角形に内接する[[螺旋]]は自然界では[[オウムガイ]]の殻の形状としても見られる、という説があるが、これは俗説である。黄金矩形に沿う[[螺旋]]もオウムガイの殻に見られる螺旋もともに[[対数螺旋]]であるが、螺旋の[[定数]]は異なる。]]
 
[[Image:ParthenonGoldenRatio.png|thumb|none|[[パルテノン神殿]]の前面図：各部が黄金比をもとに構成されているのがわかる]]
 
[[Image:ParthenonGoldenRatio.png|thumb|none|[[パルテノン神殿]]の前面図：各部が黄金比をもとに構成されているのがわかる]]

2022年11月26日 (土) 18:54時点における版

黄金長方形（縦横の長さの比が黄金比( 1: 1.618…)である長方形）から最大正方形を切り落とすと、元の長方形と相似になる。赤線は黄金螺旋、緑線は正方形内の四分円を接続したものである。黄色は重なっている部分を表す。

黄金比（おうごんひ、英：golden ratio）とは、次の値で表される比のことである

１　：　<math>\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>

以下で述べるような数理的な性質は、有理数にならないこの値のみが持つ性質であり、有理近似等には基本的には意味が無い。「デザインを美しくする」などといった巷間よく見られる説については#用途の節を参照。小数に展開すると 1 : テンプレート:val あるいは テンプレート:val : 1 といった値となる。 黄金比は貴金属比の一つである（第1貴金属比）。

幾何的には、a : b が黄金比ならば、

a : b = b : (a + b)

という等式が成り立つことから、縦横比が黄金比の矩形から最大正方形を切り落とした残りの矩形は、やはり黄金比の矩形となり、もとの矩形の相似になるという性質がある。正五角形の1辺と対角線との比は黄金比に等しい。数列 テンプレート:math2 は、等比数列をなす。そのため、（中項 b と末項 a + b の比という意味で）中末比（ちゅうまつひ）とも呼ばれる。

線分を2つに分け、短い部分と長い部分の長さの比が、長い部分と全体の長さの比に等しくなるようにしたときの比であるため、外中比（がいちゅうひ、英：extreme and mean ratio）とも呼ばれる。黄金比で長さなどを分けることを黄金比分割または黄金分割（英：golden section または 英：golden cut）という。

黄金比における

<math>\frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>

を黄金数（おうごんすう、英：golden number）という。しばしばギリシア文字の φ（ファイ）で表されるが、τ（タウ）を用いる場合もある。黄金数は、二次方程式 x2 − x − 1 = 0 の正の解である：

<math>\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1.6180339887\cdots</math>

性質

ファイル:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg
黄金分割された黄金四角形の辺上で正方形のかどとなる点を滑らかにつないでいくと螺旋が現れる。黄金四角形に内接する螺旋は自然界ではオウムガイの殻の形状としても見られる、という説があるが、これは俗説である。黄金矩形に沿う螺旋もオウムガイの殻に見られる螺旋もともに対数螺旋であるが、螺旋の定数は異なる。
ファイル:ParthenonGoldenRatio.png
パルテノン神殿の前面図：各部が黄金比をもとに構成されているのがわかる

<math> {{-1 + \sqrt 5 } \over 2} : 1 = 1 : {{1 + \sqrt 5 } \over 2} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} : {{3 + \sqrt 5 } \over 2}.</math>

上式を小数で表示するなら、およそ 0.618 : 1 ≒ 1 : 1.618 ≒ 1.618 : 2.618 となる。

黄金比は次のような美しい連分数表示をもつ。

<math>\phi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\ddots}}}} = [1;1,1,1,1,\ldots].</math>

次のような表示ももつ。

<math>\phi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{\ldots}}}}}</math>

三角関数を使うと以下のように表わすことができる。

<math>\phi = -2 \cdot \sin(666^\circ)</math>

フィボナッチ数列の隣り合う 2 項の比は黄金比に収束する。また、 1, φ, φ2, φ3, φ4, ... という等比数列を考えたとき、1 + φ = φ2 を利用すると

φ = φ,
φ2 = φ + 1,
φ3 = 2φ + 1,
φ4 = 3φ + 2,
φ5 = 5φ + 3,
φ6 = 8φ + 5,
...

となり、係数にフィボナッチ数列が出現する。

　黄金比は五角形の中や、歴史的建造物、美術品、準結晶の中に見出すことができる。また、自然界にも表れ、植物の葉の並び方や巻き貝の中にも見つけることができる。また、黄金比で長さを分けることを黄金比分割または黄金分割という。また、優れた絵画や建築作品には多く黄金比が見られる。

歴史

  • 伝承では、古代ギリシアの彫刻家ペイディアス (Φειδίας) が初めて使ったと言われる。黄金比の記号φは彼の頭文字であるが、使われ始めたのは20世紀である。なお、τはギリシア語の「分割」に由来し、やはり20世紀に使われ始めた。
  • 「黄金比」という用語が文献上に初めて登場したのは1835年刊行のドイツの数学者マルティン・オーム（オームの法則で有名なゲオルク・ジーモン・オームの弟）の著書『初等純粋数学』。また、1826年刊行の初版にはこの記載がないことから、1830年頃に誕生したと考えられる。
  • 『ユークリッド原論』では第6巻の定義3で外中比の定義が記されている。
  • 『ユークリッド原論』の第6巻の命題30で「与えられた線分を外中比に分ける作図法」が記されている。

黄金比の近似値

1.

6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374
8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788
0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364
8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788
3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710
1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764
8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131
7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175
3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264
7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362
1076738937 6455606060 5921658946 6759551900 4005559089 ･･････

その他

また類似の安定した比として白銀比がある。

関連項目

参考文献

  • ハンス・ヴァルサー『黄金分割』日本評論社 ISBN 4535783470
  • R.A.ダンラップ『黄金比とフィボナッチ数』日本評論社 ISBN 4535783705
  • 中村 滋『フィボナッチ数の小宇宙(ミクロコスモス)―フィボナッチ数、リュカ数、黄金分割』日本評論社 ISBN 4535782814
  • 佐藤 修一『自然にひそむ数学―自然と数学の不思議な関係』講談社ブルーバックス ISBN 406257201X
  • アルプレヒト・ボイテルスパッヒャー、ベルンハルト・ペトリ『黄金分割―自然と数理と芸術と』共立出版 ISBN 4320017811
  • 高木 貞治『数学小景』岩波現代文庫 ISBN 4006000812
  • 『ユークリッド原論（縮刷版）』共立出版 ISBN 4320015134
  • マリオ・リヴィオ『黄金比はすべてを美しくするか?』共立出版 ISBN 4152086912

外部リンク

wiki:黄金比

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