「単位元」の版間の差分

2007年5月17日 (木) 03:32時点における版

数学、とくに代数学において、二項演算 * を持つ集合 M について、M の * に関する単位元（たんいげん, identity element）とは、M のすべての元 a に対して

<math> a * e = e * a = a </math>

を満たすような元 e のことである。単位元を表すのにアルファベットの e が良く用いられるが、数字の 1 を流用して、M の単位元が 1_M あるいは単に 1 と記されることも多い。

関連諸概念

右単位元・左単位元 

単位元の定義をさらに分けて、a * e =a を満たす e を右単位元といい、e *a = a を満たす e を左単位元ということもある。単位元は左単位元かつ右単位元である。演算が可換なときには左右の区別はない。

単位元の添加 

二項演算 * を持つかってな集合 M が与えられたとき、M に新たな元 1 を付け加えた集合 M¹ := M ∪ {1} を考える。このとき、

任意の a ∈ M¹ に対して a * 1 = 1 * a = a

と定めて、M の演算 * を M¹ 上に延長することにより、元 1 を M¹ の * に関する単位元とすることができる。この M¹ を M の 1-添加という。

もし、M がもともと * に関する単位元 e を持っていたとしても、e は M¹ 上ではもはや * に関する単位元ではない。実際、新しく加えた 1 の定義より 1 * e = e * 1 = e となるから e が M¹ における * に関する単位元の定義を満たすためには e = 1 とならなければならない。しかしこれは M に無い新たな元を 1 として加えたことに矛盾する。

モノイド 

半群（結合法則を満たす二項演算の定義された集合）は、その演算に関する単位元を持つとき、モノイドという。

性質

単位元は対象となる代数系、すなわち集合 M と演算 * の組に対して、高々 1 個しかない。つまり、存在すれば一意に定まるのである。事実、e₁ と e₂ がともに単位元であるならば、

<math>e_1 = e_1 * e_2 = e_2</math>

が成立する。ここで、最初の等号は e₂ が、後の等号は e₁ が、それぞれ単位元であることを用いている。これにより e₁ = e₂ となり、異なる単位元は二つ以上存在しないことがわかる。

同じひとつの集合でも、演算が二つ以上定義されている場合には、それぞれの演算に対する単位元が異なることもあり得る。

例

• 自然数全体のなす集合 N、整数全体のなす集合 Z、実数全体のなす集合 R などにおいて、加法の単位元は 0 である。一般に加法（可換な演算）の単位元を零元といい、0 で表すことが多い。
• N, Z, R において、乗法の単位元は 1 である。
• 同じ型の行列全体のなす集合について、加法の単位元は零行列である。
• 同じ型の正方行列全体のなす集合で、乗法の単位元は単位行列である。

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