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[[数学]]における'''作用'''（さよう、<span lang=en>''action'', operation</span>）は、[[代数系]]にその上の[[変換 (数学)|変換写像]]の集まりを[[代数的構造]]として考え合わせたもの。[[幾何学]]的には空間（俗な意味で言えば[[図形]]）の運動の様子とその原因となるものの構造を記述する概念である。

[[群 (数学)|抽象群]]などの抽象的に与えられる代数的構造を、その作用を通して具体的な空間上の運動全体がつくる構造として[[表現 (数学)|表現]]することによって特徴付けるという手法に基づいて展開される数学の一分野は[[表現論]]と呼ばれる。

== 定義 ==
台集合が ''A'' である代数系の上の'''作用素'''（さようそ、<span lang=en>operator</span>）とは、集合 ''A'' 上の変換 &theta;: ''A'' &rarr; ''A'' のことである。文字の集合 &Omega; を与え、&Omega; の異なる文字が同じ作用素を与えることも許して、&Omega; から代数系 ''A'' 上の作用素族（これをここでは仮に Trans(''A'') と記す）への写像
:<math>
  \sigma\colon \Omega \to \mathrm{Trans}(A);\ \omega \mapsto \sigma(\omega)
</math>
を与えたとき、集合 &Omega; は代数系 ''A'' に'''作用''' (<span lang=en>act, operate</span>) する、代数系 ''A'' に集合 &Omega; の作用が定められるという。またこのとき、''A'' を &Omega;'''-代数系'''<ref>代数系 ''A'' が集合なら &Omega;-集合、群なら &Omega;-群などという。</ref>、&Omega; の'''表現空間'''などと呼び、&Omega; を ''A'' の'''作用域'''（さよういき、<span lang=en>operation domain</span>）あるいは'''作用団'''と呼ぶ。

作用域 &Omega;, 写像 &sigma;, 表現空間 ''A'' の組 (&sigma;, &Omega;, ''A'') を &Omega; の ''A'' への'''作用''' (<span lang=en>action</span>) あるいは ''A'' における &Omega; の'''表現'''（ひょうげん、{{lang|en|representation}}）と呼び、誤解のおそれの無い場合は単に写像 &sigma; で表す。また文字 &omega; が作用 &sigma; によって ''A'' に定める作用素 &sigma;(&omega;) は、しばしば（作用 &sigma; を省略して）もとの文字と同じく &omega; で表される。

集合 ''A'' には、その各元 ''x'' に対して ''x'' 自身を返す「なにもしない」変換（恒等変換）が自然に備わっているので、作用域として別の集合 &Omega; が任意に与えられたとき、&Omega; の各作用素 &omega; を恒等変換（恒等作用素）として &Omega; の ''A'' への「なにもしない」作用を定めることができる。これを &Omega; の ''A'' への'''自明な作用'''という。

作用 (&sigma;, &Omega;, ''A'') に対して、''A'' の部分集合 ''B'' が作用 &sigma; について閉じているとき、つまり ''A'' 上の作用素 &sigma;(&omega;): ''A'' &rarr; ''A'' の定義域の制限 &sigma;(&omega;)|<sub>''B''</sub>: ''B'' &rarr; ''B'' によって写像
:<math>\sigma|_B\colon \Omega\times B \to B;\ (\omega,x) \mapsto \sigma(\omega)|_B(x)</math>
を考えると組 (&sigma;|<sub>''B''</sub>, &Omega;, ''B'') が再び作用になるとき、''B'' は作用 &sigma; に関して &Omega;'''-安定'''（あんてい、{{lang|en|stable}}）であるとか &Omega;'''-不変'''（ふへん、{{lang|en|invariant}}）もしくは'''固有'''（こゆう、{{lang|en|proper}}）であるなどといい、また ''B'' は ''A'' の'''部分''' &Omega;'''-代数系'''あるいは'''部分表現'''であるという。

== 左右の区別 ==
''A'' の元 ''a'' の作用素 &theta;  による像は左記法に従って &theta;(''a''), &theta;''a'', <sup>&theta;</sup>''a'' あるいは右記法に従って (''a'')&theta;, ''a''&theta;, ''a''<sup>&theta;</sup> などで表される。
:<math>\theta\colon A \to A;\ a \mapsto \theta(a).</math>
:<math>\theta\colon A \to A;\ a \mapsto a^\theta.</math>
作用素の像の記法の左右の区別に倣って、作用域 &Omega; の代数系 ''A'' へ'''左作用'''・'''右作用'''が定められる。&Omega; の ''A'' への左からの作用 &sigma; が与えられることと、たとえば写像
:<math>\Omega \times A \to A;\ (\omega,a) \mapsto \sigma(\omega)a</math>
を与えることとは等価である。&sigma; が右作用の場合は
:<math>A \times \Omega \to A;\ (a, \omega) \mapsto a^{\sigma(\omega)}</math>
などに等価である。作用域が非可換な積をもつ代数系をなすとき、その構造と表現に関して作用の左右が特に意識的に区別を受けるが、一方で（積の順序をひっくりかえすことによって定まる）逆代数系の概念により左右が包摂され、一般論を論じる際には片方（多くの場合に左作用）のみを扱っていることも少なくない。

== 構造と作用 ==
代数系は構造としての[[算法]]の族をもち、その上の写像としては構造との親和性の良い[[準同型]]と呼ばれるものが特に重要であるから、作用素としてもそのようなものを扱うのが通例である。例えばとくに何の演算をも持たない代数系 ''E'' を考えればそれはただの[[集合]]（もちろんその集合が代数的構造以外の[[数学的構造]]を持っていてもよい）であり、その上の準同型は単なる写像である。写像として特に ''E'' 上の[[対称群|置換]]すなわち ''E'' から ''E'' [[全単射]]を考え、その全体を Aut(''E'') と記せば、Aut(''E'') は写像の合成を唯一の演算として[[群論|群]]となる。このとき、別の群 ''G'' を与え、写像
:<math>\rho\colon G \to \mathrm{Aut}(E)</math>
が特に群準同型であるものを考えることにより、群 ''G'' の集合 ''E'' への[[群の作用|群作用]]（ぐんさよう、<span lang=en>group action</span>）が定義される。これは作用素の合成が群の積へ移って
:<math>\rho(g)\rho(h) = \rho(gh)</math>
のようにまた作用素となるという意味で、単に集合 ''E'' に集合 ''G'' の作用が定まるということよりも強い制限である。同様にして、代数系 ''A'' 上の変換族 Trans(''A'') がまた新たな代数系をなしているとき、Trans(''A'') と準同型なる代数系 ''U'' に対してのみ ''U'' の ''A'' への作用というもの考えることもしばしばである。とくに、[[アーベル群|加群]] ''M'' の自己準同型の全体 End(''M'') は環の構造を持つから、勝手な環 ''R'' から環準同型 &pi;: ''R'' &rarr; End(''M'') によって環 ''R'' から加群 ''M'' への'''環作用'''（かんさよう、<span lang=en>ring action</span>）が定義される。このとき、作用域である環 ''R'' を特に ''M'' の'''係数環'''（けいすうかん）と呼び、係数環 ''R'' の元を[[係数]]と呼ぶ。

作用を持つ空間 ''X'' の上に別の構造が載っているとき、台である ''X'' への作用が ''X'' 上の構造への作用を引き起こすことがある。たとえば群作用 ''G'' &times; ''X'' &rarr; ''X''; (''g'', ''x'') &rarr; ''gx'' は
:<math>f \mapsto \sigma f;\quad \sigma f(x):= f(\sigma^{-1}x)</math>
によって ''X'' 上の関数環へ作用を移行することができる。このようなとき、作用と構造とが両立するという。

== 作用準同型 ==
同種の算法族 ''R'' が構造を定める代数系 ''A'', ''B'' とその間の準同型 ''f'': ''A'' &rarr; ''B'' を考える。また、''A'', ''B'' が同じ作用域 &Lambda; を持ち、&Lambda; の作用が (&pi;<sub>''A''</sub>, &Lambda;, ''A''), (&pi;<sub>''B''</sub>, &Lambda;, ''B'') であたえられているとする。準同型 ''f'' が写像として
:<math>f \circ \pi_A(\lambda) = \pi_B(\lambda) \circ f</math>
を任意の &lambda; に対して満たすならば、準同型 ''f'': ''A'' &rarr; ''B'' は &Lambda; の'''作用込みの準同型'''であるという。簡単に'''作用準同型'''とか &Lambda;-準同型などとも呼ぶ。

&Lambda; の作用が ''A'', ''B'' ともに右から与えられているとき、''A'' &rarr; ''B'' が &Lambda;-準同型である条件は
:<math>f(x^{\pi_A(\lambda)}) = f(x)^{\pi_B(\lambda)}</math>
を &Lambda; の任意の元 &lambda; と ''A'' の任意の元 ''x'' に対して満たすことであり、ともに左作用ならば
:<math>f(\pi_A(\lambda)x) = \pi_B(\lambda)f(x)</math>
を &Lambda; の任意の元 &lambda; と ''A'' の任意の元 ''x'' に対して満たすことと述べられる。一方が左からで他方が右からの場合でも同様に書ける。また、作用を省略して書けば
:<math>f \circ \lambda = \lambda \circ f</math>
が成り立つこととなり、写像の合成を[[二項演算]]とみなす立場から、この条件は「''f'' が &Lambda; の作用と[[交換法則|可換]]であること」と述べられる。

また、&Lambda;-準同型 ''f'': ''A'' &rarr; ''B'' に対して、像
:<math>\mathrm{Im}(f) := \{ f(a) \in B \mid a \in A\}</math>
は ''B'' の部分代数系であるばかりでなく、&Lambda;-代数系としての部分系である。このことを指して、&Lambda;-準同型は &Lambda;-代数系の'''構造を保つ'''という。またこのことは、代数系 (''A'', ''R'') から、その上の作用を単項演算族とみなして ''S'' = ''R'' &cup; {&pi;<sub>''A''</sub>(&lambda;) | &lambda; &isin; &Lambda;} とおくことにより、新たな代数系として (''A'', ''S'') = (''A'', ''R'', (&pi;<sub>''A''</sub>, &Lambda;)) を考えるならば、通常の意味で代数系の構造を保つということおよび準同型を考えるということに同じである。

== 作用の構成と分解 ==
二つの作用 (&pi;, &Omega;, ''A''), (&tau;, &Lambda;, ''B'') は成分ごとの作用により直積作用 (&pi; &times; &tau;, &Omega; &times; &Lambda;, ''A'' &times; ''B'') を定める。またこれらが線型表現であるとき、''A'' と ''B'' に[[テンソル積]]が定義されるならば、（外部）テンソル積表現
:<math>(\pi\boxtimes\tau,\Omega\times\Lambda,A\otimes B)</math>
へ延長できて、再び線型表現を与える。
作用 (&pi;, &Omega;, ''A'') に対して、写像 &phi;: &Lambda; &rarr; &Omega; や &psi;<sub>1</sub>: ''A'' &rarr; ''B'', &psi;<sub>2</sub>: ''B'' &rarr; ''A'' は合成により作用域や表現空間を取り替えた新しい作用
:<math>(\pi\circ\varphi,\Lambda,A),</math>
:<math>(\psi_1\circ\pi\circ\psi_2,\Omega,B)</math>
を導く。特に &phi; が包含写像ならば表現の制限が、&psi;<sub>2</sub> が包含写像かつ&psi;<sub>2</sub> と &psi;<sub>1</sub> との合成 ''B'' &rarr; ''A'' &rarr; ''B'' が分裂するならば部分表現がそれぞれ定義される。


== 関連項目 ==
* [[表現 (数学)]]
* [[代数的構造]]
* [[係数]]
* [[作用素]]
* [[加群]]

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[[Category:代数的構造|さよう]]
[[Category:数学に関する記事|さよう]]

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