不等式のソースを表示

'''不等式'''（ふとうしき、''inequality''）とは'''不等号'''（ふとうごう）を含んだ[[数式]]で、いくつかの量の大きさやモノの序列、値などの評価を示すものである。

値や量を評価するという意味では[[等式]]を不等式の一種であると見なすこともできる。

==概要==
未知数（あるいは[[変数]]）を含む不等式は[[方程式]]と類似の概念をもたらす。すなわち、変数への値の代入が行われたとき、正しい評価を与える値のことを'''不等式の解'''と呼び、不等式の解となる値を全て求めることを'''不等式を解く'''という。通常、不等式という言葉は、このように未知の数を含む、方程式との類似物の意味で用いられることが多い。

また、未知数を含む不等式が与えられたとき、ほとんどの場合、任意の値が解となるわけではなく、ゆえに不等式が未知の数に関する条件を定めるものであると理解されることも方程式と同様である。方程式に対する[[恒等式]]に当たるもの、すなわち任意の値を解とするような不等式は'''絶対不等式'''と呼ばれる。

;例 : ''x'' + 1 > 1（この場合、''x'' が 0 より大きいという条件が示される）
;絶対不等式の例 : ''x''<sup>2</sup> + 1 > 0 （ただし、''x'' は実数に値をとる変数）

同じ文字は同時に同じ値をもつという約束に基づいて、'''多変数不等式'''や、同時に成り立つ不等式の組、すなわち'''連立不等式'''、'''不等式系'''と呼ばれるものを考えることができること、あるいは与えられた不等式系を、同値性を保ったままでなるべく簡単な不等式系に変換することを'''不等式系を解く'''ということなどは、やはり[[方程式系]]と同様である。

方程式が離散的な値を与える条件式となることが多いことに比して、不等式は通常、値の'''範囲'''を評価する条件式として働く。
このような違いが効果的に現れた例として[[素数分布]]に関する[[ブルンの篩]]を挙げる事ができるだろう。これは、素数の検出法として古典的に知られていた[[エラトステネスの篩]]のルジャンドルによる定式化（これは、ある整数以下の素数の "個数" を計算するためのもので、[[メビウス関数]]を用いた等式として書くことができる）を、さらに不等式で範囲の評価に書き直すこと（およびその精密化）により得られたもので、素数分布の評価に絶大な効果をもたらした。

様々な場面で不等式を巧妙に用いて様々な論証を行う[[解析学]]は、方程式論をはじめとする等式の学問としての[[代数学]]との対比として、しばしば「不等式の学問」といわれる。

== 実数の大小 ==
[[数学 (教育)|教育数学]]において扱う不等式は実数の大小関係に関するものである。
=== 種類と意味 ===
;&gt; だいなり、よりだい
:左辺が右辺よりも大きいことを示す。
;≧(&ge;) だいなりいこーる、以上
:左辺が右辺よりも大きいか、等しいことを示す。
;&lt; しょうなり、よりしょう、未満
:左辺が右辺よりも小さいことを示す。
;≦(&le;) しょうなりいこーる、以下
:左辺が右辺よりも小さいか、等しいことを示す。

これらを利用して、例えば ''x'' が100以上1000未満であることは 100 ≦ ''x'' < 1000 と表現できる。また、''a'' ≦ 100 かつ ''a'' ≧ 100 であれば ''a'' = 100 であると結論できる。

"≧" や "≦" のように二本線を用いる表記は日本ではよく用いられるが、世界的にはあまり用いられない。

=== 性質 ===
不等式は方程式の場合とは異なり、不等号の種類（向き）が意味を持つので、不等式に対する操作でそれが変化することがあることに注意しなければならない。

不等式の両辺に等しいものを加えても、評価は変わらない。よって、[[方程式]]と同様に、不等式も[[移項]]することによって同値なまま変形ができる。

両辺に同じ数値を加えたり減じたりする場合には不等号の向きは変化しないが、両辺に同じ負の数を乗じたり除したりする場合には、不等号の向きが変わる。乗数・除数が変数であったり文字式であったりと正負が不定の場合は、場合分けして計算する必要がでてくる。

まとめると、実数の大小に関する不等式は次の性質をもつ。
# ''a'' ≦ ''b'' &hArr; ''b'' ≧ ''a''
# ''a'' &lt; ''b'' &hArr; ''b'' &gt; ''a''
# ''a'' ≦ ''b'' &hArr; ''a'' = ''b'' または ''a'' &lt; ''b''
# ''a'' ≧ ''b'' &hArr; ''a'' = ''b'' または ''a'' &gt; ''b''
# ''a'' ≦ ''a'', ''a'' ≧ ''a''
# ''a'' ≦ ''b'' かつ ''b'' ≦ ''a'' ならば ''a'' = ''b''
# ''a'' ≦ ''b'' かつ ''b'' ≦ ''c'' ならば ''a'' ≦ ''c''
# ''a'' ≦ ''b'' かつ ''c'' ≦ ''d'' ならば ''a'' + ''c'' ≦ ''b'' + ''d''
# ''a'' ≦ ''b'' ならば -''b'' ≦ -''a''
# 0 &lt; ''a'', ''b'' ならば 0 ≦ ''ab''

1, 2, 3, 4 は不等号という記号の約束事である。また、5, 6, 7 は順序の公理として抽象化される性質である。すなわち 5, 6, 7 は実数の大小関係が[[順序集合|順序関係]]であるということを述べている。8, 9, 10 が成り立つことは順序が体演算と適合すると言われ、実数の全体が[[順序体]]をなすことの成立要件である。

== 主な不等式 ==
* 一次不等式
** 線形計画法
* 二次不等式
*相加相乗平均
*コーシー・シュワルツの不等式
*三角不等式

== 関連項目 ==
*[[数学]]
*[[等式]]
*[[方程式]]
*[[解析学]]
*[[順序集合]]
**[[順序加群]]
**[[順序体]]

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[[Category:数学に関する記事]]
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