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'''線形代数学'''（せんけいだいすうがく、<em lang="en">linear algebra</em>）は、[[行列]]や[[行列式]]に関する理論を体系化した[[代数学]]の一分野である。

== 概要 ==
行列は種々の変数の[[一次関数|一次の関係式]]で表される関係を記述するものであり、もともとは[[線形方程式系|連立一次方程式]]の解法の研究である。行列の記法は、連立方程式の解法に関して[[アーサー・ケーリー|ケーリー]]、[[ジェームズ・ジョゼフ・シルヴェスター|シルヴェスター]]、[[フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス|フロベニウス]]、[[フェルディナント・ゴットホルト・マックス・アイゼンシュタイン|アイゼンシュタイン]]、[[シャルル・エルミート|エルミート]]がそれぞれ同時期に提唱した。最も早くこの理論を提唱したのはアイゼンシュタインであるが、皆、学会からはなかなか注目されずケーリーが取り組んでいたものが30年後にシルヴェスターによって再発見されたことで評価され始めるようになった（シルヴェスターが個別に発見したのか、ケーリーの理論を知っていたのかは詳しくは分かっていない）。

連立方程式を一次変換と捉える立場からは、線形代数学は、高次元のまっすぐな空間（現代的にいえば[[ベクトル空間]]）の幾何について研究する学問であると言うことができる。このようにベクトル空間とその変換の理論として見るとき、線形代数学はしかし[[高々 (数学)|高々]]有限次元のベクトル空間の理論である。これを無限次元のベクトル空間で対象とするためには、多分に空間の[[位相空間|位相]]とそれに基づく[[解析学]]が必要となる。無限次元の線形代数学は[[関数解析学]]と呼ばれる。これは、無限次元のベクトル空間が、ある空間上の関数全体の集合として典型的に現れるからである。

和算家の[[関孝和]]も現在の行列式に当たるものを独自に開発・研究していた。

線形代数学においては[[線形性]]が一つの重要なファクターであり、それを意味する述語 linear を冠する概念は多いが、その日本語訳については、"線状"、"線形"、"線型"、"一次" などといった揺れが存在する。例えば、線形代数学は'''線型代数学'''と書かれることも多い。

== 用語 ==
;[[ベクトル空間]]（線形空間）- [[ベクトル (数学)|ベクトル]] - [[線形部分空間]]  
:[[ユークリッド空間]] - [[アファイン空間]]
;[[内積空間]]
:[[内積]] - [[エルミート内積]] - [[直交補空間]] - [[直交射影]]
;[[線形結合]]（一次結合）
:[[線形従属]]（一次従属）- [[線形独立]]（一次独立）
:[[基底]] - [[標準基底]] - [[次元 （線形代数学）|次元]] - [[グラム・シュミットの正規直交化法]]
;[[行列]]
:[[実行列]] - [[複素行列]] 
:[[正方行列]] - [[正則行列]]（GL(n,R), GL(n,C)） - [[逆行列]] - [[単位行列]] ([[スカラー行列]]) - [[零行列]] - [[冪零行列]] 
:[[対角行列]] -  [[三角行列]]（上三角行列、下三角行列） 
:[[転置行列]] - [[随伴行列]] 
:[[直交行列]]（O(n)） - [[特殊直交行列]]（SO(n)） - [[ユニタリ行列]]（U(n)） - [[特殊ユニタリー行列]]（SU(n)） - [[シンプレクティック行列]]（Sp(n)） - （行列の）[[指数関数]]
:[[対称行列]] - [[反対称行列]]（歪対称行列） - [[エルミート行列]] - [[歪エルミート行列]]（反エルミート行列） - [[正規行列]]
:[[置換行列]] - [[隣接行列]] 
;[[行列式]]
:[[置換]] - [[小行列式]] - [[余因子展開]] - [[ヤコビアン]] - [[関数行列]]
;[[線形方程式系]]（連立一次方程式） 
:[[行列の基本変形]] - [[クラメールの公式]] - [[シルベスター行列]]
;線形変換（一次変換）
:[[線形写像]](線形変換) - [[相似]] - [[成分行列]]
:[[行列の階数|階数]] - [[像 (数学)|像]] - [[核 (数学)|核]]（[[核空間]]） 
:[[対角化]] - [[スペクトル分解]] - [[ジョルダン標準形]]  - [[特異値分解]]
;[[固有空間]]
: [[固有値]] - [[固有値|固有ベクトル]] - [[フロベニウスの定理]] - [[固有多項式]]（[[固有方程式]]） - [[最小多項式]] - [[ケイリー・ハミルトンの定理]] - [[縮退]]
;[[テンソル]]
:[[双対空間]] - [[双線型形式]] - [[対称形式]] - [[エルミート形式]] - [[テンソル代数]] - [[グラスマン代数]]

== 関連項目 ==
* [[代数学]]
* [[環 (数学)]]
* [[体 (数学)]]
* [[加群]]
* [[リー群]]
* [[リー環]]
* [[関数解析学]]

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[[Category:線形代数学|*]]
[[Category:数学に関する記事]]

{{Wikipedia/Ja|線型代数学}}